- Calcule:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
Passo 1
O enunciado pede para calcular várias integrais impróprias, envolvendo potências de
, exponenciais e funções racionais. Vamos usar:
- Critério de convergência para integrais do tipo
. - Fórmula básica
para . - A definição da função Gamma
para inteiros . - Substituições simples
, . - O resultado
.
Passo 2
Para integrais do tipo
, sabemos que convergem se e só se
, com valor
Aplicando em
a) dá
.
j) dá
.
a)
j)
Passo 3
Para
com
vale
Logo
b) com resulta em
.
c) com (e
) resulta em
.
b) com
c) com
Passo 4
Para
(com
inteiro
) temos
. No caso
:
Assim
e) com dá
.
f) com dá
.
e) com
f) com
Passo 5
Para
usamos
,
, logo
Isso responde g).
Passo 6
Para integrais do tipo
usamos a primitiva
. Em particular,
respondendo h), e com substituição
:
respondendo i).
Passo 7
Para
temos
, logo a integral diverge (vai para
). Isso completa d).
Resposta
a)
b)
c)
d) diverge
e)
f)
g)
h)
i)
j)
b)
c)
d) diverge
e)
f)
g)
h)
i)
j)