Calcule
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Pedem para calcular a integral dupla
- Os limites de integração são um retângulo no plano:
varia de a e varia de a . - A função integranda é a soma de duas parcelas:
(que depende só de ) e (que depende só de ).
Passo 2
Estratégia e regras que vou usar (sem ainda calcular):
- Linearidade da integral: para qualquer função
,
Isto permite separar a integral da soma em soma de integrais.
- Quando a região de integração é um produto de intervalos (aqui
), pode-se integrar primeira a variável e depois (integração iterada). Assim vou calcular primeiro a integral interna em e depois a integral em . - Lembrete de cálculo: a primitiva de
é . Em particular, para a primitiva em é .
Passo 3
Calcular a integral interna em
:
- Para a primeira integral, use a primitiva
:
- Para a segunda integral,
é constante em relação a , logo
Portanto a integral interna vale
Passo 4
Agora integro o resultado anterior em
de
a
:
- A primeira parte é constante em
: - A segunda parte usa novamente a primitiva
:
Somando as duas parcelas obtemos
Passo 5
Simplificação final (identidade dos logaritmos):
(Opcional: checagem numérica aproximada
.)