Calcule \int_{0}^{2} \int_{0}^{1}\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}\right) d x d y.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pedem para calcular a integral dupla
\int_{0}^{2}\int_{0}^{1}\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}\right)\,dx\,dy.
  • Os limites de integração são um retângulo no plano: x varia de 0 a 1 e y varia de 0 a 2.
  • A função integranda é a soma de duas parcelas: \dfrac{1}{x+1} (que depende só de x) e \dfrac{1}{y+1} (que depende só de y).

Passo 2

Estratégia e regras que vou usar (sem ainda calcular):
  • Linearidade da integral: para qualquer função f+g,
\int (f+g)=\int f+\int g.
Isto permite separar a integral da soma em soma de integrais.
  • Quando a região de integração é um produto de intervalos (aqui [0,1]\times[0,2]), pode-se integrar primeira a variável x e depois y (integração iterada). Assim vou calcular primeiro a integral interna em x e depois a integral em y.
  • Lembrete de cálculo: a primitiva de \dfrac{1}{u} é \ln|u|. Em particular, para \dfrac{1}{x+1} a primitiva em x é \ln(x+1).

Passo 3

Calcular a integral interna em x:
\int_{0}^{1}\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}\right)\,dx = \int_{0}^{1}\frac{1}{x+1}\,dx + \int_{0}^{1}\frac{1}{y+1}\,dx.
  • Para a primeira integral, use a primitiva \ln(x+1):
\int_{0}^{1}\frac{1}{x+1}\,dx = \left.\ln(x+1)\right|_{0}^{1} = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2.
  • Para a segunda integral, \dfrac{1}{y+1} é constante em relação a x, logo
\int_{0}^{1}\frac{1}{y+1}\,dx = \frac{1}{y+1}\cdot(1-0)=\frac{1}{y+1}.
Portanto a integral interna vale
\ln 2 + \frac{1}{y+1}.

Passo 4

Agora integro o resultado anterior em y de 0 a 2:
\int_{0}^{2}\left(\ln 2 + \frac{1}{y+1}\right)\,dy = \int_{0}^{2}\ln 2\,dy + \int_{0}^{2}\frac{1}{y+1}\,dy.
  • A primeira parte é constante em y: \int_{0}^{2}\ln 2\,dy = \ln 2 \cdot 2 = 2\ln 2.
  • A segunda parte usa novamente a primitiva \ln(y+1):
\int_{0}^{2}\frac{1}{y+1}\,dy = \left.\ln(y+1)\right|_{0}^{2} = \ln 3 - \ln 1 = \ln 3.
Somando as duas parcelas obtemos
2\ln 2 + \ln 3.

Passo 5

Simplificação final (identidade dos logaritmos):
2\ln 2 + \ln 3 = \ln(2^2) + \ln 3 = \ln 4 + \ln 3 = \ln(4\cdot 3) = \ln 12.
(Opcional: checagem numérica aproximada \ln 12\approx 2,4849.)

Resposta

\ln 12

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