Calcule
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
Informações dadas:
- O domínio de integração é o retângulo com
variando de a e variando de a . - A função a ser integrada (integrando) é
. - A ordem de integração indicada é primeiro em
(integral interna ) e depois em (integral externa ).
O que se pede: calcular o valor numérico dessa integral dupla.
Passo 2
Plano e propriedades que vou usar (explicadas de forma didática):
- Para funções contínuas em um retângulo, a integral dupla pode ser calculada como uma integral iterada, isto é, integrar primeiro em
mantendo fixo e depois integrar o resultado em . - Linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais, e constantes podem sair da integral. Formalmente,
- Regras básicas de antiderivação (próprias para fazer as integrais):
- Para
, . - Em particular,
e .
Vou aplicar essas ideias para primeiro calcular a integral interna eme depois a integral externa em .
- Para
Passo 3
Calcular a integral interna em
:
Usando linearidade, separo em duas integrais e tiro constantes fora:
Agora aplico as regras de antiderivação:
Substituindo:
Portanto a integral interna resulta na função de
Passo 4
Agora calculo a integral externa em
:
Novamente uso linearidade:
Calculo cada uma:
Substituindo:
Passo 5
Verificação alternativa rápida (checagem): separar a integral em duas integrais duplas
Para a primeira:
Para a segunda:
Somando , confirma o resultado anterior.
Para a segunda:
Somando