Calcule \int_{0}^{2} \int_{0}^{2}(2 x+3 y) d x d y.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{2}\int_{0}^{2}(2x+3y)\,dx\,dy.
Informações dadas:
  • O domínio de integração é o retângulo com x variando de 0 a 2 e y variando de 0 a 2.
  • A função a ser integrada (integrando) é f(x,y)=2x+3y.
  • A ordem de integração indicada é primeiro em x (integral interna \int_{0}^{2}\cdot dx) e depois em y (integral externa \int_{0}^{2}\cdot dy).
    O que se pede: calcular o valor numérico dessa integral dupla.

Passo 2

Plano e propriedades que vou usar (explicadas de forma didática):
  • Para funções contínuas em um retângulo, a integral dupla pode ser calculada como uma integral iterada, isto é, integrar primeiro em x mantendo y fixo e depois integrar o resultado em y.
  • Linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais, e constantes podem sair da integral. Formalmente,
\int (a\cdot g(x)+b\cdot h(x))\,dx = a\int g(x)\,dx + b\int h(x)\,dx.
  • Regras básicas de antiderivação (próprias para fazer as integrais):
    • Para n\neq -1, \displaystyle \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}.
    • Em particular, \displaystyle \int x\,dx = \frac{x^{2}}{2} e \displaystyle \int 1\,dx = x.
      Vou aplicar essas ideias para primeiro calcular a integral interna em x e depois a integral externa em y.

Passo 3

Calcular a integral interna em x:
\int_{0}^{2}(2x+3y)\,dx.
Usando linearidade, separo em duas integrais e tiro constantes fora:
\int_{0}^{2}(2x+3y)\,dx = 2\int_{0}^{2}x\,dx + 3y\int_{0}^{2}1\,dx.
Agora aplico as regras de antiderivação:
\int_{0}^{2}x\,dx = \left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{2} = \frac{2^{2}}{2}-0 = \frac{4}{2}=2,
\int_{0}^{2}1\,dx = \left[x\right]_{0}^{2} = 2-0 = 2.
Substituindo:
2\int_{0}^{2}x\,dx + 3y\int_{0}^{2}1\,dx = 2\cdot 2 + 3y\cdot 2 = 4 + 6y.
Portanto a integral interna resulta na função de y
\int_{0}^{2}(2x+3y)\,dx = 4+6y.

Passo 4

Agora calculo a integral externa em y:
\int_{0}^{2}(4+6y)\,dy.
Novamente uso linearidade:
\int_{0}^{2}4\,dy + \int_{0}^{2}6y\,dy = 4\int_{0}^{2}1\,dy + 6\int_{0}^{2}y\,dy.
Calculo cada uma:
\int_{0}^{2}1\,dy = \left[y\right]_{0}^{2} = 2,
\int_{0}^{2}y\,dy = \left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{2} = \frac{2^{2}}{2}-0 = \frac{4}{2}=2.
Substituindo:
4\cdot 2 + 6\cdot 2 = 8 + 12 = 20.

Passo 5

Verificação alternativa rápida (checagem): separar a integral em duas integrais duplas
\iint_{[0,2]\times[0,2]}2x\,dA + \iint_{[0,2]\times[0,2]}3y\,dA.
Para a primeira: \iint 2x\,dA = \int_{0}^{2}\left(2x\int_{0}^{2}dy\right)dx = \int_{0}^{2}2x\cdot 2\,dx = 4\int_{0}^{2}x\,dx = 4\cdot 2 = 8.
Para a segunda: \iint 3y\,dA = \int_{0}^{2}\left(3y\int_{0}^{2}dx\right)dy = \int_{0}^{2}3y\cdot 2\,dy = 6\int_{0}^{2}y\,dy = 6\cdot 2 = 12.
Somando 8+12=20, confirma o resultado anterior.

Resposta

20

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