Prove que, se \vec{u} e \vec{v} sāo vetores não-nulos e paralelos, entāo
\|\vec{u}+\vec{v}\|^{2} \neq\|\vec{u}\|^{2}+\|\vec{v}\|^{2}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dados: \vec{u} e \vec{v} são vetores não-nulos e paralelos.
  • Objetivo: provar que
\|\vec{u}+\vec{v}\|^{2} \neq \|\vec{u}\|^{2}+\|\vec{v}\|^{2}.
  • Observação importante que vamos usar sem perguntar nada: “paralelos” significa que existe um escalar \alpha tal que \vec{v}=\alpha\vec{u}. Como \vec{v} e \vec{u} são não-nulos, tem-se \alpha\neq 0.

Passo 2

Lembrete básico (fórmula que usaremos) e demonstração dela:
  • Definição/identidade: para qualquer vetor \vec{x} vale \|\vec{x}\|^{2}=\vec{x}\cdot\vec{x}, onde \cdot é o produto escalar.
  • Agora vamos desenvolver \|\vec{u}+\vec{v}\|^{2} usando o produto escalar:
\|\vec{u}+\vec{v}\|^{2}=(\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}+\vec{v}).
Expandindo o produto escalar (usando bilinearidade e comutatividade do produto escalar):
(\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}+\vec{v}) =\vec{u}\cdot\vec{u}+2\,\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}\cdot\vec{v}.
Em notação de normas:
\|\vec{u}+\vec{v}\|^{2}=\|\vec{u}\|^{2}+2\,\vec{u}\cdot\vec{v}+\|\vec{v}\|^{2}.
Isso é uma fórmula padrão e muito útil: a diferença entre \|\vec{u}+\vec{v}\|^{2} e \|\vec{u}\|^{2}+\|\vec{v}\|^{2} é exatamente 2\,\vec{u}\cdot\vec{v}.

Passo 3

Interpretação lógica da igualdade pretendida:
  • Se por absurdo supuséssemos que
\|\vec{u}+\vec{v}\|^{2}=\|\vec{u}\|^{2}+\|\vec{v}\|^{2},
então comparando com a identidade do passo anterior teríamos
\|\vec{u}\|^{2}+2\,\vec{u}\cdot\vec{v}+\|\vec{v}\|^{2}=\|\vec{u}\|^{2}+\|\vec{v}\|^{2}.
Cancelando os termos iguais em ambos os lados resulta
2\,\vec{u}\cdot\vec{v}=0\quad\Rightarrow\quad \vec{u}\cdot\vec{v}=0.
Ou seja, a igualdade ocorreria apenas se \vec{u} e \vec{v} fossem ortogonais (produto escalar zero).

Passo 4

Usar que \vec{u} e \vec{v} são paralelos para chegar a uma contradição:
  • Como são paralelos, existe \alpha\in\mathbb{R}, \alpha\neq 0, tal que \vec{v}=\alpha\vec{u}.
  • Calcule o produto escalar:
\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{u}\cdot(\alpha\vec{u})=\alpha(\vec{u}\cdot\vec{u})=\alpha\|\vec{u}\|^{2}.
  • Como \vec{u} é não-nulo, tem \|\vec{u}\|^{2}>0. Como \alpha\neq 0, segue que \alpha\|\vec{u}\|^{2}\neq 0. Portanto
\vec{u}\cdot\vec{v}\neq 0.
  • Isso contradiz a condição necessária para que a igualdade \|\vec{u}+\vec{v}\|^{2}=\|\vec{u}\|^{2}+\|\vec{v}\|^{2} ocorra (que exigiría \vec{u}\cdot\vec{v}=0). Logo a igualdade não pode ocorrer.

Passo 5

Alternativa rápida (mesma ideia, vista por outra ótica) — para fixar:
  • Escrevendo \vec{v}=\alpha\vec{u} temos
\|\vec{u}+\vec{v}\|^{2}=\|(1+\alpha)\vec{u}\|^{2}=(1+\alpha)^{2}\|\vec{u}\|^{2},
e
\|\vec{u}\|^{2}+\|\vec{v}\|^{2}=\|\vec{u}\|^{2}+\alpha^{2}\|\vec{u}\|^{2}=(1+\alpha^{2})\|\vec{u}\|^{2}.
A igualdade entre esses dois números exigiria
(1+\alpha)^{2}=(1+\alpha^{2})\quad\Rightarrow\quad 2\alpha=0\quad\Rightarrow\quad \alpha=0,
o que contradiz \alpha\neq 0. Portanto novamente concluímos que a igualdade é impossível.

Resposta

\|\vec{u}+\vec{v}\|^{2} \neq\|\vec{u}\|^{2}+\|\vec{v}\|^{2}

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