Prove que, se
e
sāo vetores não-nulos e paralelos, entāo
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dados:
e são vetores não-nulos e paralelos. - Objetivo: provar que
- Observação importante que vamos usar sem perguntar nada: “paralelos” significa que existe um escalar
tal que . Como e são não-nulos, tem-se .
Passo 2
Lembrete básico (fórmula que usaremos) e demonstração dela:
- Definição/identidade: para qualquer vetor
vale , onde é o produto escalar. - Agora vamos desenvolver
usando o produto escalar:
Expandindo o produto escalar (usando bilinearidade e comutatividade do produto escalar):
Em notação de normas:
Isso é uma fórmula padrão e muito útil: a diferença entre
e
é exatamente
.
Passo 3
Interpretação lógica da igualdade pretendida:
- Se por absurdo supuséssemos que
então comparando com a identidade do passo anterior teríamos
Cancelando os termos iguais em ambos os lados resulta
Ou seja, a igualdade ocorreria apenas se
e
fossem ortogonais (produto escalar zero).
Passo 4
Usar que
e
são paralelos para chegar a uma contradição:
- Como são paralelos, existe
, , tal que . - Calcule o produto escalar:
- Como
é não-nulo, tem . Como , segue que . Portanto
- Isso contradiz a condição necessária para que a igualdade
ocorra (que exigiría ). Logo a igualdade não pode ocorrer.
Passo 5
Alternativa rápida (mesma ideia, vista por outra ótica) — para fixar:
- Escrevendo
temos
e
A igualdade entre esses dois números exigiria
o que contradiz
. Portanto novamente concluímos que a igualdade é impossível.