Calcule:
\int_{1}^{4}\left(\sqrt{\omega}+\frac{1}{\sqrt{\omega}}\right) d \omega

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{1}^{4}\Bigl(\sqrt{\omega} + \frac{1}{\sqrt{\omega}}\Bigr)\,d\omega
O conteúdo principal é integração de funções potenciais, usando a regra de potência para achar a primitiva de \omega^{n}.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos os termos como potências de \omega:
\sqrt{\omega} = \omega^{1/2}, \quad \frac{1}{\sqrt{\omega}} = \omega^{-1/2}.
Então a integral se separa em duas:
\int_{1}^{4}\omega^{1/2}\,d\omega \;+\; \int_{1}^{4}\omega^{-1/2}\,d\omega.

Passo 3

Aplicamos a regra de potência
\int \omega^{n}\,d\omega = \frac{\omega^{n+1}}{n+1} + C,\quad n\neq -1.
Para n = \tfrac12:
\int \omega^{1/2}\,d\omega = \frac{\omega^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}\,\omega^{3/2}.
Para n = -\tfrac12:
\int \omega^{-1/2}\,d\omega = \frac{\omega^{1/2}}{1/2} = 2\,\omega^{1/2}.
Portanto, uma primitiva comum é
F(\omega) = \frac{2}{3}\,\omega^{3/2} + 2\,\omega^{1/2}.

Passo 4

Agora avaliamos F de 1 a 4:
F(4) = \frac{2}{3}\,4^{3/2} + 2\,4^{1/2} = \frac{2}{3}\cdot 8 + 2\cdot 2 = \frac{16}{3} + 4 = \frac{28}{3},
F(1) = \frac{2}{3}\,1^{3/2} + 2\,1^{1/2} = \frac{2}{3} + 2 = \frac{8}{3}.

Passo 5

A integral definida é
\int_{1}^{4}\Bigl(\sqrt{\omega} + \tfrac{1}{\sqrt{\omega}}\Bigr)\,d\omega = F(4) - F(1) = \frac{28}{3} - \frac{8}{3} = \frac{20}{3}.

Resposta

\frac{20}{3}

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