Calcule as seguintes integrais definidas:
\int_{-1}^{1} t^{2} d t

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida \displaystyle \int_{-1}^{1} t^{2}\,dt. O conteúdo envolvido é integração de polinômios e a propriedade de simetria de funções pares.

Passo 2

Observamos que a função f(t)=t^{2} é par, pois f(-t)=(-t)^{2}=t^{2}=f(t). Para funções pares, vale a propriedade
\int_{-a}^{a} f(t)\,dt \;=\; 2\int_{0}^{a} f(t)\,dt.

Passo 3

Aplicando essa propriedade com a=1, obtemos
\int_{-1}^{1} t^{2}\,dt \;=\; 2\int_{0}^{1} t^{2}\,dt.
Agora, calculamos \int_{0}^{1} t^{2}\,dt. A antiderivada de t^{2} é
\frac{t^{3}}{3},
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\int_{0}^{1} t^{2}\,dt = \left.\frac{t^{3}}{3}\right|_{0}^{1} = \frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3} = \frac{1}{3}.

Passo 4

Substituindo de volta na propriedade de simetria, temos
\int_{-1}^{1} t^{2}\,dt = 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{3}

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