Calcule
\int_{0}^{2} \int_{0}^{2} \int_{0}^{3}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) d x d y d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\int_{0}^{2}\int_{0}^{2}\int_{0}^{3}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\,dx\,dy\,dz.
Informações dadas:
\begin{aligned} &\text{Integrando a função }f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}.\\\ &\text{Limites: }0\le x\le 3,\quad 0\le y\le 2,\quad 0\le z\le 2.\\\ &\text{Ordem de integração (conforme escrito): }dx\\ \text{(de }0\text{ a }3),\\ dy\\ \text{(de }0\text{ a }2),\\ dz\\ \text{(de }0\text{ a }2). \end{aligned}çãçã
O que é pedido: encontrar o valor numérico dessa integral tripla sobre o paralelepípedo R=\{(x,y,z)\mid 0\le x\le3,\,0\le y\le2,\,0\le z\le2\}.

Passo 2

Ideia útil (explicação do conceito usado): a integral é linear, ou seja, a integral da soma é a soma das integrais. Explicitamente,
\int\!\!\int\!\!\int_{R}\big(x^{2}+y^{2}+z^{2}\big)\,dV = \int\!\!\int\!\!\int_{R}x^{2}\,dV + \int\!\!\int\!\!\int_{R}y^{2}\,dV + \int\!\!\int\!\!\int_{R}z^{2}\,dV.
Além disso, quando a região R é um produto de intervalos (um paralelepípedo), uma integral de uma função que depende só de uma variável pode ser separada em produto de integrais unidimensionais. Por exemplo, se integrarmos x^{2} sobre R,
\int\!\!\int\!\!\int_{R}x^{2}\,dV = \left(\int_{0}^{3}x^{2}\,dx\right)\left(\int_{0}^{2}dy\right)\left(\int_{0}^{2}dz\right).
Vou aplicar essas propriedades passo a passo.

Passo 3

Escrevendo a soma das três integrais separadas:
\int_{0}^{2}\int_{0}^{2}\int_{0}^{3}\big(x^{2}+y^{2}+z^{2}\big)\,dx\,dy\,dz = I_x+I_y+I_z,
onde
I_x=\int_{0}^{2}\int_{0}^{2}\int_{0}^{3}x^{2}\,dx\,dy\,dz, \quad I_y=\int_{0}^{2}\int_{0}^{2}\int_{0}^{3}y^{2}\,dx\,dy\,dz, \quad I_z=\int_{0}^{2}\int_{0}^{2}\int_{0}^{3}z^{2}\,dx\,dy\,dz.

Passo 4

Calculemos as integrais unidimensionais necessárias:
\int_{0}^{3}x^{2}\,dx=\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{3}=\frac{3^{3}}{3}=\frac{27}{3}=9,
\int_{0}^{2}y^{2}\,dy=\left[\frac{y^{3}}{3}\right]_{0}^{2}=\frac{2^{3}}{3}=\frac{8}{3},
\int_{0}^{2}z^{2}\,dz=\left[\frac{z^{3}}{3}\right]_{0}^{2}=\frac{8}{3},
\int_{0}^{2}dy=2,\qquad \int_{0}^{2}dz=2,\qquad \int_{0}^{3}dx=3.

Passo 5

Agora multiplicamos conforme a separação para cada termo:
Para I_x (apenas depende de x):
I_x=\left(\int_{0}^{3}x^{2}\,dx\right)\left(\int_{0}^{2}dy\right)\left(\int_{0}^{2}dz\right) =9\cdot 2\cdot 2=36.
Para I_y (apenas depende de y):
I_y=\left(\int_{0}^{3}dx\right)\left(\int_{0}^{2}y^{2}\,dy\right)\left(\int_{0}^{2}dz\right) =3\cdot\frac{8}{3}\cdot 2=8\cdot 2=16.
Para I_z (apenas depende de z):
I_z=\left(\int_{0}^{3}dx\right)\left(\int_{0}^{2}dy\right)\left(\int_{0}^{2}z^{2}\,dz\right) =3\cdot 2\cdot\frac{8}{3}=2\cdot 8=16.

Passo 6

Somando os três resultados:
\int_{0}^{2}\int_{0}^{2}\int_{0}^{3}\big(x^{2}+y^{2}+z^{2}\big)\,dx\,dy\,dz =I_x+I_y+I_z=36+16+16=68.

Resposta

68

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