(1) Calcule o volume do sölido s situado acima do paraboloide z=\frac{x^{2}+y^{2}}{4} e abdixo do plano z=4

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido s que está acima do paraboloide z=\frac{x^{2}+y^{2}}{4} e abaixo do plano z=4. As informações relevantes que temos são:
  • A superfície inferior é z=\frac{x^{2}+y^{2}}{4}.
  • A superfície superior é z=4.
  • O sólido é a região entre essas duas superfícies.

Passo 2

Primeiro encontramos a projeção do sólido sobre o plano xy: é a região onde as duas superfícies se intersectam. Igualando
\frac{x^{2}+y^{2}}{4}=4
obtemos
x^{2}+y^{2}=16.
Portanto a projeção no plano xy é o disco de raio 4 centrado na origem: \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 16\}.

Passo 3

Para achar o volume de um sólido entre duas superfícies z=z_{\text{top}}(x,y) e z=z_{\text{bot}}(x,y) usamos a fórmula
\text{Volume}=\iint_{D}\bigl(z_{\text{top}}(x,y)-z_{\text{bot}}(x,y)\bigr)\,dA,
onde D é a projeção no plano xy. Aqui z_{\text{top}}(x,y)=4 e z_{\text{bot}}(x,y)=\dfrac{x^{2}+y^{2}}{4}. Como D é um disco circular, é muito mais simples usar coordenadas polares.

Passo 4

Lembrete rápido de coordenadas polares (aula de bolso): em coordenadas polares usamos
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,
onde r\ge0 e \theta\in[0,2\pi). A área elementar dA vira r\,dr\,d\theta — esse fator r é o jacobiano da mudança de variável e é obrigatório. Além disso x^{2}+y^{2}=r^{2}. Substituindo na diferença entre as superfícies temos
4-\frac{x^{2}+y^{2}}{4}=4-\frac{r^{2}}{4}.

Passo 5

Montamos a integral dupla em polares sobre r de 0 a 4 e \theta de 0 a 2\pi:
\text{Volume}=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{4}\left(4-\frac{r^{2}}{4}\right)r\,dr\,d\theta.
Aqui o integrando \left(4-\dfrac{r^{2}}{4}\right)r vem de \bigl(z_{\text{top}}-z_{\text{bot}}\bigr)\times dA com dA=r\,dr\,d\theta.

Passo 6

Resolvendo a integral interna em r. Primeiro expandimos o integrando:
\left(4-\frac{r^{2}}{4}\right)r=4r-\frac{r^{3}}{4}.
Agora integramos termo a termo:
\int_{0}^{4}\left(4r-\frac{r^{3}}{4}\right)dr =\left[2r^{2}-\frac{r^{4}}{16}\right]_{0}^{4}.
Calculando em r=4:
2\cdot 4^{2}-\frac{4^{4}}{16}=2\cdot 16-\frac{256}{16}=32-16=16.
Portanto a integral radial vale 16.

Passo 7

Agora integramos em \theta:
\text{Volume}=\int_{0}^{2\pi}16\,d\theta=16\cdot(2\pi)=32\pi.
Feito — esse é o volume do sólido.

Resposta

32\pi

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