(1) Calcule o volume do sölido
situado acima do paraboloide
e abdixo do plano
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido
que está acima do paraboloide
e abaixo do plano
. As informações relevantes que temos são:
- A superfície inferior é
. - A superfície superior é
. - O sólido é a região entre essas duas superfícies.
Passo 2
Primeiro encontramos a projeção do sólido sobre o plano
: é a região onde as duas superfícies se intersectam. Igualando
obtemos
Portanto a projeção no plano
é o disco de raio
centrado na origem:
.
Passo 3
Para achar o volume de um sólido entre duas superfícies
e
usamos a fórmula
onde
é a projeção no plano
. Aqui
e
. Como
é um disco circular, é muito mais simples usar coordenadas polares.
Passo 4
Lembrete rápido de coordenadas polares (aula de bolso): em coordenadas polares usamos
onde
e
. A área elementar
vira
— esse fator
é o jacobiano da mudança de variável e é obrigatório. Além disso
. Substituindo na diferença entre as superfícies temos
Passo 5
Montamos a integral dupla em polares sobre
de
a
e
de
a
:
Aqui o integrando
vem de
com
.
Passo 6
Resolvendo a integral interna em
. Primeiro expandimos o integrando:
Agora integramos termo a termo:
Calculando em
:
Portanto a integral radial vale
.
Passo 7
Agora integramos em
:
Feito — esse é o volume do sólido.