(2) Calcule
, onde
é a esfera
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
onde
é a esfera sólida dada por
Informações relevantes que o enunciado dá:
aparece sob raízes aninhadas; a região de integração
é a bola de raio
centrada na origem; a integral é sobre toda a região tridimensional
. A tarefa é obter o valor numérico dessa integral.
Passo 2
Observação útil sobre a função integranda (isso é só álgebra): defina
Então
porque
(portanto a raiz quadrada de
é
). Assim a integranda simplifica para
Ou seja, a função a integrar depende apenas de
(é radial). Isso sugere usar coordenadas esféricas.
Passo 3
Breve explicação didática sobre coordenadas esféricas e o elemento de volume:
- Em coordenadas esféricas usamos
com as convenções
onde
.
- O elemento de volume em coordenadas esféricas é
Justificativa curta: o fator
vem do Jacobiano da transformação cartesiana→esférica; intuitivamente ele ajusta o “tamanho” do pequeno paralelepípedo nas novas coordenadas (produto de comprimentos na direção radial e angulares).
Como a região
é a bola de raio
, os limites ficam
Passo 4
Montando a integral em coordenadas esféricas: substituímos a integranda
e o elemento de volume
. Assim
Como a parte angular (
) não aparece na integranda exceto em
, podemos separar as integrais:
Calculemos as integrais angulares simples:
Portanto o fator angular é
, e a integral reduz-se a
Passo 5
Agora calculamos a integral unidimensional
Sugerimos a substituição (padrão para termos do tipo
junto com
):
Diferenciando,
Mudança de limites: para
temos
; para
temos
. Assim
Calcule a primitiva:
Portanto
Passo 6
Voltando ao fator angular
, a integral total vale
Podemos também escrever
, daí uma forma alternativa é
Pequeno comentário de incentivo: ótimo trabalho até aqui — a ideia-chave foi reconhecer a dependência radial e usar esféricas + substituição simples. Isso é uma técnica poderosa para integrais sobre bolas.