(2) Calcule \iint_{B} \int \sqrt{1+\sqrt{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3}}} d x d y d z, onde B é a esfera x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iint_{B}\sqrt{1+\sqrt{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3}}}\,dx\,dy\,dz,
onde B é a esfera sólida dada por
x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 1.
Informações relevantes que o enunciado dá:
\\ (x^{2}+y^{2}+z^{2}) aparece sob raízes aninhadas; a região de integração B é a bola de raio 1 centrada na origem; a integral é sobre toda a região tridimensional B. A tarefa é obter o valor numérico dessa integral.

Passo 2

Observação útil sobre a função integranda (isso é só álgebra): defina
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \quad(\text{nota: } r\ge 0).
Então
\sqrt{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3}}=\sqrt{(r^{2})^{3}}=(r^{2})^{3/2}=r^{3},
porque r\ge 0 (portanto a raiz quadrada de r^{6} é r^{3}). Assim a integranda simplifica para
\sqrt{1+\sqrt{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3}}}=\sqrt{1+r^{3}}.
Ou seja, a função a integrar depende apenas de r (é radial). Isso sugere usar coordenadas esféricas.

Passo 3

Breve explicação didática sobre coordenadas esféricas e o elemento de volume:
  • Em coordenadas esféricas usamos r,\varphi,\theta com as convenções
x=r\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=r\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=r\cos\varphi,
onde \\ r\ge 0,\\ \varphi\in[0,\pi],\\ \theta\in[0,2\pi).
  • O elemento de volume em coordenadas esféricas é
dV = r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta.
Justificativa curta: o fator r^{2}\sin\varphi vem do Jacobiano da transformação cartesiana→esférica; intuitivamente ele ajusta o “tamanho” do pequeno paralelepípedo nas novas coordenadas (produto de comprimentos na direção radial e angulares).
Como a região B é a bola de raio 1, os limites ficam
r\in[0,1],\qquad \varphi\in[0,\pi],\qquad \theta\in[0,2\pi].

Passo 4

Montando a integral em coordenadas esféricas: substituímos a integranda \sqrt{1+r^{3}} e o elemento de volume r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta. Assim
\iint_{B}\sqrt{1+\sqrt{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3}}}\,dx\,dy\,dz =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{1}\sqrt{1+r^{3}}\;r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta.
Como a parte angular ( \varphi,\theta) não aparece na integranda exceto em \sin\varphi, podemos separar as integrais:
\left(\int_{0}^{2\pi}d\theta\right)\left(\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi\right)\left(\int_{0}^{1}r^{2}\sqrt{1+r^{3}}\,dr\right).
Calculemos as integrais angulares simples:
\int_{0}^{2\pi}d\theta = 2\pi,\qquad \int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi = \bigl[-\cos\varphi\bigr]_{0}^{\pi}=2.
Portanto o fator angular é 2\pi\cdot 2 = 4\pi, e a integral reduz-se a
4\pi\int_{0}^{1}r^{2}\sqrt{1+r^{3}}\,dr.

Passo 5

Agora calculamos a integral unidimensional
\int_{0}^{1}r^{2}\sqrt{1+r^{3}}\,dr.
Sugerimos a substituição (padrão para termos do tipo r^{2} junto com r^{3}):
u=1+r^{3}.
Diferenciando,
du=3r^{2}\,dr\quad\Rightarrow\quad r^{2}\,dr=\frac{1}{3}\,du.
Mudança de limites: para r=0 temos u=1; para r=1 temos u=2. Assim
\int_{0}^{1}r^{2}\sqrt{1+r^{3}}\,dr=\int_{u=1}^{u=2}\frac{1}{3}u^{1/2}\,du=\frac{1}{3}\int_{1}^{2}u^{1/2}\,du.
Calcule a primitiva:
\int u^{1/2}\,du=\frac{2}{3}u^{3/2}.
Portanto
\frac{1}{3}\int_{1}^{2}u^{1/2}\,du=\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{3}\Bigl[u^{3/2}\Bigr]_{1}^{2}=\frac{2}{9}\bigl(2^{3/2}-1\bigr).

Passo 6

Voltando ao fator angular 4\pi, a integral total vale
4\pi\cdot \frac{2}{9}\bigl(2^{3/2}-1\bigr)=\frac{8\pi}{9}\bigl(2^{3/2}-1\bigr).
Podemos também escrever 2^{3/2}=2\sqrt{2}, daí uma forma alternativa é
\frac{8\pi}{9}\bigl(2\sqrt{2}-1\bigr).
Pequeno comentário de incentivo: ótimo trabalho até aqui — a ideia-chave foi reconhecer a dependência radial e usar esféricas + substituição simples. Isso é uma técnica poderosa para integrais sobre bolas.

Resposta

\displaystyle \frac{8\pi}{9}\bigl(2^{3/2}-1\bigr)

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