Calcule
\int_{1}^{2}\left(x+\frac{1}{x}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede a integral definida de \,1 a 2 da função
f(x)=x+\frac{1}{x}.
O conteúdo envolvido é a linearidade da integral e as regras \displaystyle\int x\,dx (regra da potência) e \displaystyle\int\frac{1}{x}\,dx (logaritmo).

Passo 2

Usamos a linearidade da integral para separar:
\int_{1}^{2}\Bigl(x+\frac{1}{x}\Bigr)\,dx =\int_{1}^{2}x\,dx+\int_{1}^{2}\frac{1}{x}\,dx.

Passo 3

Calculamos cada primitiva:
\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}, \qquad \int \frac{1}{x}\,dx = \ln\bigl|x\bigr|.
Portanto uma primitiva de f é
F(x)=\frac{x^{2}}{2}+\ln\bigl|x\bigr|.

Passo 4

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo:
\int_{1}^{2}\Bigl(x+\frac{1}{x}\Bigr)\,dx =F(2)-F(1) =\Bigl(\frac{2^{2}}{2}+\ln2\Bigr)-\Bigl(\frac{1^{2}}{2}+\ln1\Bigr).
Como \ln1=0, fica
\frac{4}{2}+\ln2-\frac{1}{2} =2-\frac{1}{2}+\ln2 =\frac{3}{2}+\ln2.

Resposta

\frac{3}{2}+\ln2.

Exercícios relacionados