Calcule
\int \frac{d x}{(3-5 x)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede a primitiva da função
\frac{1}{(3-5x)^{2}}.
Como temos uma potência de uma expressão linear em x, a gente vai usar a substituição u=3-5x para simplificar.

Passo 2

Define-se a substituição
u = 3 - 5x,
que transforma o denominador em u^{2}.

Passo 3

Derivando u em relação a x, obtemos
du = -5\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = -\frac{1}{5}\,du.

Passo 4

Substituindo na integral,
\int \frac{dx}{(3-5x)^{2}} = \int \frac{1}{u^{2}}\;\Bigl(-\tfrac{1}{5}\,du\Bigr) = -\tfrac{1}{5}\int u^{-2}\,du.

Passo 5

Agora basta integrar a potência:
\int u^{-2}\,du = \frac{u^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{u} + C.
Multiplicando pelo fator -\tfrac{1}{5}, temos
-\tfrac{1}{5}\!\Bigl(-\tfrac{1}{u}\Bigr) + C = \frac{1}{5u} + C.

Passo 6

Volta-se a variável x usando u=3-5x:
\frac{1}{5u} + C = \frac{1}{5\,(3-5x)} + C.

Resposta

\int \frac{dx}{(3-5x)^{2}} = \frac{1}{5\,(3-5x)} + C.

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