Dada f(x), faça um esboço do gráfico de f. Coloque todos os passos necessários de modo legível e organizado.
Escolha a função, ou seja, faça somente um item (a) ou (b)
f(x)=x^{3}-3 x+3

Passo 1

O enunciado pede um esboço do gráfico da função
f(x)=x^{3}-3x+3.
Vamos usar cálculo diferencial para encontrar derivada, pontos críticos, concavidade e pontos notáveis (interceptos e ponto de inflexão). Com isso montamos um esboço fiel ao comportamento de f.

Passo 2

Calcular a derivada primeira para estudar monotonicidade:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}-3x+3\bigr)=3x^{2}-3=3(x^{2}-1).

Passo 3

Determinar os pontos onde f'(x)=0:
3(x^{2}-1)=0\quad\Longrightarrow\quad x^{2}=1\quad\Longrightarrow\quad x=-1,\;x=1.
São os candidatos a extremos locais.

Passo 4

Classificar esses pontos usando a derivada segunda:
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}-3\bigr)=6x.
Em x=-1: f''(-1)=6(-1)=-6<0, logo x=-1 é ponto de máximo local.
Em x=1: f''(1)=6>0, logo x=1 é ponto de mínimo local.

Passo 5

Calcular as coordenadas de máximo e mínimo:
f(-1)=(-1)^{3}-3(-1)+3=-1+3+3=5,
f(1)=1^{3}-3\cdot1+3=1-3+3=1.
Portanto temos máximo local em (-1,5) e mínimo local em (1,1).

Passo 6

Estudar concavidade e ponto de inflexão:
f''(x)=6x=0\quad\Longrightarrow\quad x=0.
Para x<0, f''(x)<0 (concavidade para baixo); para x>0, f''(x)>0 (concavidade para cima). Há ponto de inflexão em
(0,f(0))=(0,3).

Passo 7

Determinar interceptos:
Intercepto em y:
f(0)=3,
logo corte em (0,3) (que coincide com o ponto de inflexão).
Interceptos em x: resolver x^{3}-3x+3=0. Por tentativa ou método numérico, encontra-se uma única raiz real aproximada em
x\approx -2{,}1,
isto é, ponto \bigl(-2{,}1,0\bigr).

Passo 8

Resumo de variação e concavidade:
– Para x<-1: f'(x)>0 (crescente), f''(x)<0 (côncavo para baixo).
– Em x=-1: máximo local (-1,5).
– Para -1<x<1: f'(x)<0 (decrescente).
• Se -1<x<0: concavidade para baixo.
• Se 0<x<1: concavidade para cima.
– Em x=1: mínimo local (1,1).
– Para x>1: f'(x)>0 (crescente), f''(x)>0 (côncavo para cima).

Passo 9

Esboço do gráfico (com principais pontos marcados):
  • Raiz aproximada em (-2{,}1,0).
  • Máximo local em (-1,5).
  • Ponto de inflexão e intercepto em y em (0,3).
  • Mínimo local em (1,1).
    O gráfico é o clássico “S” de um cubo com translação vertical de +3, mostrando crescimento para x\to-\infty, subida até (-1,5), descida até (1,1) e depois crescente para x\to+\infty, alternando concavidade em x=0.

Resposta

Esboço conforme descrito nos passos acima, com: (-2{,}1,0) raiz única, (-1,5) máximo local, (0,3) inflexão e intercepto em y, (1,1) mínimo local,
cresce em (-\infty,-1) e (1,\infty), decresce em (-1,1), côncavo para baixo em (-\infty,0), côncavo para cima em (0,\infty).

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