Dada
, faça um esboço do gráfico de
. Coloque todos os passos necessários de modo legível e organizado.
Escolha a função, ou seja, faça somente um item (a) ou (b)
Escolha a função, ou seja, faça somente um item (a) ou (b)
Passo 1
O enunciado pede um esboço do gráfico da função
Vamos usar cálculo diferencial para encontrar derivada, pontos críticos, concavidade e pontos notáveis (interceptos e ponto de inflexão). Com isso montamos um esboço fiel ao comportamento de
.
Passo 2
Calcular a derivada primeira para estudar monotonicidade:
Passo 3
Determinar os pontos onde
:
São os candidatos a extremos locais.
Passo 4
Classificar esses pontos usando a derivada segunda:
Em
:
, logo
é ponto de máximo local.
Em :
, logo
é ponto de mínimo local.
Em
Passo 5
Calcular as coordenadas de máximo e mínimo:
Portanto temos máximo local em
e mínimo local em
.
Passo 6
Estudar concavidade e ponto de inflexão:
Para
,
(concavidade para baixo); para
,
(concavidade para cima). Há ponto de inflexão em
Passo 7
Determinar interceptos:
– Intercepto em :
– Intercepto em
logo corte em
(que coincide com o ponto de inflexão).
– Interceptos em : resolver
. Por tentativa ou método numérico, encontra-se uma única raiz real aproximada em
– Interceptos em
isto é, ponto
.
Passo 8
Resumo de variação e concavidade:
– Para :
(crescente),
(côncavo para baixo).
– Em : máximo local
.
– Para :
(decrescente).
• Se : concavidade para baixo.
• Se : concavidade para cima.
– Em : mínimo local
.
– Para :
(crescente),
(côncavo para cima).
– Para
– Em
– Para
• Se
• Se
– Em
– Para
Passo 9
Esboço do gráfico (com principais pontos marcados):
- Raiz aproximada em
. - Máximo local em
. - Ponto de inflexão e intercepto em
em . - Mínimo local em
.
O gráfico é o clássico “S” de um cubo com translação vertical de, mostrando crescimento para , subida até , descida até e depois crescente para , alternando concavidade em .
Resposta
Esboço conforme descrito nos passos acima, com:
raiz única,
máximo local,
inflexão e intercepto em
,
mínimo local,
cresce em e
, decresce em
, côncavo para baixo em
, côncavo para cima em
.
cresce em