(!) Determine o conjunto dos pontos de acumulação de:
a)
no espaço
;
b)
em
;
c)
em
;
d)
em
.
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado pede para determinar o conjunto dos pontos de acumulação (pontos-limite) de quatro conjuntos diferentes. Vou listar exatamente o que cada item dá e o que pergunta:
a) Dado o conjunto
no espaço
. Pergunta: qual é o conjunto de pontos de acumulação de
em
?
b) Dado o conjunto
em
. Pergunta: qual é o conjunto de pontos de acumulação de
em
?
c) Dado o conjunto
no espaço
. Pergunta: qual é o conjunto de pontos de acumulação de
em
?
d) Dado o conjunto
no espaço
. Pergunta: qual é o conjunto de pontos de acumulação de
em
?
Dados relevantes: os conjuntos explícitos acima; estamos usando a topologia usual (distância Euclidiana) em
e
. A resolução começará a partir do próximo passo.
Passo 2
Primeiro, vamos definir direitinho o que é ponto de acumulação (ou ponto-limite), porque isso é a chave para tudo e vou explicar como identificar um.
Definição (intuitiva e formal): um ponto
é ponto de acumulação de um conjunto
se, para toda bola aberta centrada em
de raio
, existir pelo menos um ponto de
diferente de
dentro dessa bola. Em símbolo:
Aqui
é a bola aberta de raio
centrada em
(no caso de
é um intervalo
, em
é o disco centrado em
).
Forma alternativa (sequencial):
é ponto de acumulação de
exatamente quando existe uma sequência
de pontos de
, com todos
, tal que
.
Comentário prático: para mostrar que um ponto NÃO é de acumulação, basta encontrar uma
tal que a bola
contém nenhum ponto de
diferente de
. Para mostrar que um ponto É de acumulação, precisamos mostrar que qualquer bola, por menor que seja, contém algum ponto de
diferente dele — normalmente usamos densidade (por exemplo, dos racionais) ou construímos uma sequência.
Agora usamos essa definição para cada item.
Passo 3
Intuição: os inteiros estão “separados” um do outro; entre dois inteiros consecutivos não há outro inteiro. Vamos formalizar.
Seja
. Tome
. A bola aberta em
centrada em
com raio
é o intervalo
Dentro desse intervalo não existe nenhum outro inteiro além de
(porque a distância entre inteiros consecutivos é
). Assim
Pelo critério da definição, isso mostra que
não é ponto de acumulação de
. Como
era um inteiro arbitrário, nenhum inteiro é ponto de acumulação.
Agora, pontos que não são inteiros: se
, a distância de
ao inteiro mais próximo é
. Tomando
(ou qualquer
) a bola
não contém inteiros, logo
também não é ponto de acumulação de
.
Conclusão do item a: nenhum ponto em
é ponto de acumulação de
. O conjunto de pontos de acumulação é o conjunto vazio.
Passo 4
Aqui vamos usar um fato importante: os racionais são densos em
. Vou lembrar e demonstrar rapidamente a ideia, depois aplicar ao conjunto
.
Fato (densidade dos racionais): dado qualquer intervalo aberto
com
, existe uma racional
tal que
.
Pequena demonstração (construtiva): pelo princípio arquimediano existe
tal que
. Seja
(então
). Então
e
. Isso mostra que sempre podemos encontrar racionais dentro de qualquer intervalo.
Agora apliquei isso a
.
(i) Pontos internos
: seja
arbitrário e tome qualquer
. O intervalo
intersecta
em algum subintervalo não vazio (para
pequeno, por exemplo). Pela densidade dos racionais, existe
com
. Podemos escolher
(se
for racional, há outros racionais próximos; se
irracional, qualquer racional próximo já é diferente). Logo todo
é ponto de acumulação de
.
(ii) Pontos das bordas
e
: considere
. Para qualquer
, o intervalo
contém racionais (pela densidade), e esses racionais pertencem a
. Assim
é ponto de acumulação de
. Idem para
: para qualquer
, o intervalo
contém racionais de
, logo
é ponto de acumulação.
(iii) Pontos fora do intervalo
: se
então escolha
(por exemplo
) e a bola
não intersecta
, logo não intersecta
. Assim
não é ponto de acumulação. Caso
argumento análogo tomando
.
Conclusão do item b: o conjunto dos pontos de acumulação de
é exatamente o intervalo fechado
Passo 5
Vamos mostrar que
é denso em
, o que implica que todo ponto de
é ponto de acumulação.
Densidade produto: como
é denso em
, para qualquer coordenada real podemos aproximar por racionais. Mais formalmente, seja
e
. Queremos encontrar
com
e
, onde a norma é a Euclidiana.
Escolha
. Pela densidade de
em
existe
tal que
e existe
tal que
. Então
Se por acaso
(o que só é possível se
fossem racionais e escolhêssemos exatamente iguais), podemos alterar levemente um dos
por outro racional suficientemente próximo para manter a desigualdade; assim sempre conseguimos um ponto diferente de
.
Portanto, em qualquer bola aberta centrada em
há pontos de
diferentes de
. Isso mostra que todo
é ponto de acumulação de
.
Conclusão do item c: o conjunto dos pontos de acumulação de
é todo
.
Passo 6
Agora o conjunto tem a primeira coordenada inteira e a segunda racional. Vamos pensar geometricamente:
são pontos situados em retas verticais (cada reta
,
), e sobre cada reta há pontos com coordenada
racional — ou seja, sobre cada linha vertical os pontos racionais formam um conjunto denso na linha.
Primeiro, pontos com primeira coordenada inteira: seja
com
e
arbitrário. Tome qualquer
. A bola
contém o segmento vertical
. Como
é denso em
, existe
com
. Então
. Podemos escolher
(se
for racional, há outros racionais próximos), então sempre existe um ponto de
na bola diferente de
. Portanto todo ponto com primeira coordenada inteira é ponto de acumulação.
Agora, pontos com primeira coordenada não inteira: seja
com
. A distância de
ao conjunto
é um número positivo
(porque uma não-inteira tem distância positiva ao inteiro mais próximo). Escolha
. A bola
então tem todas as suas abscissas no intervalo
, que não contém nenhum inteiro. Assim
não contém nenhum ponto de
. Portanto
não é ponto de acumulação.
Conclusão do item d: os únicos pontos de acumulação são aqueles com primeira coordenada inteira e segunda coordenada qualquer real, ou seja