(!) Determine o conjunto dos pontos de acumulação de:
a) \mathbb{Z} no espaço \mathbb{R};
b) A=\mathbb{Q} \cap(0,1)\ em \mathbb{R};
c) \mathbb{Q} \times \mathbb{Q} em \mathbb{R}^{2};
d) \mathbb{Z} \times \mathbb{Q} em \mathbb{R}^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o conjunto dos pontos de acumulação (pontos-limite) de quatro conjuntos diferentes. Vou listar exatamente o que cada item dá e o que pergunta:
a) Dado o conjunto \mathbb{Z} no espaço \mathbb{R}. Pergunta: qual é o conjunto de pontos de acumulação de \mathbb{Z} em \mathbb{R}?
b) Dado o conjunto A = \mathbb{Q} \cap (0,1) em \mathbb{R}. Pergunta: qual é o conjunto de pontos de acumulação de A em \mathbb{R}?
c) Dado o conjunto \mathbb{Q} \times \mathbb{Q} no espaço \mathbb{R}^{2}. Pergunta: qual é o conjunto de pontos de acumulação de \mathbb{Q} \times \mathbb{Q} em \mathbb{R}^{2}?
d) Dado o conjunto \mathbb{Z} \times \mathbb{Q} no espaço \mathbb{R}^{2}. Pergunta: qual é o conjunto de pontos de acumulação de \mathbb{Z} \times \mathbb{Q} em \mathbb{R}^{2}?
Dados relevantes: os conjuntos explícitos acima; estamos usando a topologia usual (distância Euclidiana) em \mathbb{R} e \mathbb{R}^2. A resolução começará a partir do próximo passo.

Passo 2

Primeiro, vamos definir direitinho o que é ponto de acumulação (ou ponto-limite), porque isso é a chave para tudo e vou explicar como identificar um.
Definição (intuitiva e formal): um ponto x é ponto de acumulação de um conjunto S se, para toda bola aberta centrada em x de raio \varepsilon>0, existir pelo menos um ponto de S diferente de x dentro dessa bola. Em símbolo:
x \text{ é ponto de acumulação de } S \iff \forall \varepsilon>0,\; \big( (B(x,\varepsilon)\setminus\{x\})\cap S \neq \varnothing \big).éçã
Aqui B(x,\varepsilon) é a bola aberta de raio \varepsilon centrada em x (no caso de \mathbb{R} é um intervalo (x-\varepsilon,x+\varepsilon), em \mathbb{R}^2 é o disco centrado em x).
Forma alternativa (sequencial): x é ponto de acumulação de S exatamente quando existe uma sequência (s_n) de pontos de S, com todos s_n \neq x, tal que s_n \to x.
Comentário prático: para mostrar que um ponto NÃO é de acumulação, basta encontrar uma \varepsilon>0 tal que a bola B(x,\varepsilon) contém nenhum ponto de S diferente de x. Para mostrar que um ponto É de acumulação, precisamos mostrar que qualquer bola, por menor que seja, contém algum ponto de S diferente dele — normalmente usamos densidade (por exemplo, dos racionais) ou construímos uma sequência.
Agora usamos essa definição para cada item.

Passo 3

Intuição: os inteiros estão “separados” um do outro; entre dois inteiros consecutivos não há outro inteiro. Vamos formalizar.
Seja n\in\mathbb{Z}. Tome \varepsilon=\tfrac{1}{2}. A bola aberta em \mathbb{R} centrada em n com raio \varepsilon é o intervalo
B\big(n,\tfrac{1}{2}\big) = \big(n-\tfrac{1}{2},\,n+\tfrac{1}{2}\big).
Dentro desse intervalo não existe nenhum outro inteiro além de n (porque a distância entre inteiros consecutivos é 1). Assim
\big(B(n,\tfrac{1}{2})\setminus\{n\}\big)\cap \mathbb{Z} = \varnothing.
Pelo critério da definição, isso mostra que n não é ponto de acumulação de \mathbb{Z}. Como n era um inteiro arbitrário, nenhum inteiro é ponto de acumulação.
Agora, pontos que não são inteiros: se x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}, a distância de x ao inteiro mais próximo é d>0. Tomando \varepsilon = d (ou qualquer \varepsilon<d) a bola B(x,\varepsilon) não contém inteiros, logo x também não é ponto de acumulação de \mathbb{Z}.
Conclusão do item a: nenhum ponto em \mathbb{R} é ponto de acumulação de \mathbb{Z}. O conjunto de pontos de acumulação é o conjunto vazio.

Passo 4

Aqui vamos usar um fato importante: os racionais são densos em \mathbb{R}. Vou lembrar e demonstrar rapidamente a ideia, depois aplicar ao conjunto A.
Fato (densidade dos racionais): dado qualquer intervalo aberto (a,b) com a<b, existe uma racional r \in \mathbb{Q} tal que a<r<b.
Pequena demonstração (construtiva): pelo princípio arquimediano existe n\in\mathbb{N} tal que n(b-a) > 1. Seja m = \lfloor na \rfloor + 1 (então m-1 \le na < m). Então
a < \frac{m}{n} < b,
e \frac{m}{n}\in\mathbb{Q}. Isso mostra que sempre podemos encontrar racionais dentro de qualquer intervalo.
Agora apliquei isso a A.
(i) Pontos internos x\in(0,1): seja x\in(0,1) arbitrário e tome qualquer \varepsilon>0. O intervalo (x-\varepsilon,x+\varepsilon) intersecta (0,1) em algum subintervalo não vazio (para \varepsilon pequeno, por exemplo). Pela densidade dos racionais, existe q \in \mathbb{Q} com q \in (x-\varepsilon,x+\varepsilon)\cap(0,1). Podemos escolher q\neq x (se x for racional, há outros racionais próximos; se x irracional, qualquer racional próximo já é diferente). Logo todo x\in(0,1) é ponto de acumulação de A.
(ii) Pontos das bordas 0 e 1: considere x=0. Para qualquer \varepsilon>0, o intervalo (0,\varepsilon) contém racionais (pela densidade), e esses racionais pertencem a A. Assim 0 é ponto de acumulação de A. Idem para x=1: para qualquer \varepsilon>0, o intervalo (1-\varepsilon,1) contém racionais de A, logo 1 é ponto de acumulação.
(iii) Pontos fora do intervalo [0,1]: se x<0 então escolha \varepsilon < -x (por exemplo \varepsilon = \tfrac{-x}{2}) e a bola (x-\varepsilon,x+\varepsilon) não intersecta (0,1), logo não intersecta A. Assim x não é ponto de acumulação. Caso x>1 argumento análogo tomando \varepsilon < x-1.
Conclusão do item b: o conjunto dos pontos de acumulação de A é exatamente o intervalo fechado
[0,1].

Passo 5

Vamos mostrar que \mathbb{Q}\times\mathbb{Q} é denso em \mathbb{R}^2, o que implica que todo ponto de \mathbb{R}^2 é ponto de acumulação.
Densidade produto: como \mathbb{Q} é denso em \mathbb{R}, para qualquer coordenada real podemos aproximar por racionais. Mais formalmente, seja (x,y)\in\mathbb{R}^2 e \varepsilon>0. Queremos encontrar (q_1,q_2)\in\mathbb{Q}\times\mathbb{Q} com (q_1,q_2)\neq(x,y) e \|(q_1,q_2)-(x,y)\| < \varepsilon, onde a norma é a Euclidiana.
Escolha \delta = \varepsilon/\sqrt{2}. Pela densidade de \mathbb{Q} em \mathbb{R} existe q_1\in\mathbb{Q} tal que |q_1-x|<\delta e existe q_2\in\mathbb{Q} tal que |q_2-y|<\delta. Então
\sqrt{(q_1-x)^2 + (q_2-y)^2} < \sqrt{\delta^2+\delta^2} = \sqrt{2}\,\delta = \varepsilon.
Se por acaso (q_1,q_2)=(x,y) (o que só é possível se x,y fossem racionais e escolhêssemos exatamente iguais), podemos alterar levemente um dos q_i por outro racional suficientemente próximo para manter a desigualdade; assim sempre conseguimos um ponto diferente de (x,y).
Portanto, em qualquer bola aberta centrada em (x,y) há pontos de \mathbb{Q}\times\mathbb{Q} diferentes de (x,y). Isso mostra que todo (x,y)\in\mathbb{R}^2 é ponto de acumulação de \mathbb{Q}\times\mathbb{Q}.
Conclusão do item c: o conjunto dos pontos de acumulação de \mathbb{Q}\times\mathbb{Q} é todo \mathbb{R}^2.

Passo 6

Agora o conjunto tem a primeira coordenada inteira e a segunda racional. Vamos pensar geometricamente: \mathbb{Z}\times\mathbb{Q} são pontos situados em retas verticais (cada reta x=n, n\in\mathbb{Z}), e sobre cada reta há pontos com coordenada y racional — ou seja, sobre cada linha vertical os pontos racionais formam um conjunto denso na linha.
Primeiro, pontos com primeira coordenada inteira: seja (n,y_0) com n\in\mathbb{Z} e y_0\in\mathbb{R} arbitrário. Tome qualquer \varepsilon>0. A bola B((n,y_0),\varepsilon) contém o segmento vertical \{n\}\times (y_0-\varepsilon,y_0+\varepsilon). Como \mathbb{Q} é denso em \mathbb{R}, existe q\in\mathbb{Q} com |q-y_0|<\varepsilon. Então (n,q)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Q} \cap B((n,y_0),\varepsilon). Podemos escolher q\neq y_0 (se y_0 for racional, há outros racionais próximos), então sempre existe um ponto de \mathbb{Z}\times\mathbb{Q} na bola diferente de (n,y_0). Portanto todo ponto com primeira coordenada inteira é ponto de acumulação.
Agora, pontos com primeira coordenada não inteira: seja (x_0,y_0) com x_0\notin\mathbb{Z}. A distância de x_0 ao conjunto \mathbb{Z} é um número positivo d = \inf_{n\in\mathbb{Z}} |x_0-n| >0 (porque uma não-inteira tem distância positiva ao inteiro mais próximo). Escolha \varepsilon < d. A bola B((x_0,y_0),\varepsilon) então tem todas as suas abscissas no intervalo (x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon), que não contém nenhum inteiro. Assim B((x_0,y_0),\varepsilon) não contém nenhum ponto de \mathbb{Z}\times\mathbb{Q}. Portanto (x_0,y_0) não é ponto de acumulação.
Conclusão do item d: os únicos pontos de acumulação são aqueles com primeira coordenada inteira e segunda coordenada qualquer real, ou seja
\mathbb{Z}\times\mathbb{R}.

Resposta

\varnothing\n
[0,1]\n
\mathbb{R}^{2}\n
\mathbb{Z}\times\mathbb{R}

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