Calcule:
\int_{e}^{e^{2}} \ln x d x

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a integral \displaystyle \int_{e}^{e^2} \ln x \, dx. O conteúdo principal aqui é aplicação de integração por partes para encontrar uma primitiva de \ln x.

Passo 2

Escolhemos u=\ln x e dv=dx. Então
\displaystyle du=\frac{1}{x}dx e \displaystyle v=x.
Pela fórmula de integração por partes,
\int \ln x \, dx = x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln x - \int 1\,dx = x\ln x - x + C.

Passo 3

Definimos a primitiva F(x)=x\ln x - x. Agora avaliamos no limite superior x=e^2:
F(e^2) = e^2 \ln(e^2) - e^2 = 2e^2 - e^2 = e^2.

Passo 4

Em seguida, avaliamos no limite inferior x=e:
F(e) = e\ln(e) - e = e - e = 0.

Passo 5

Subtraindo as avaliações na primitiva, temos
\int_{e}^{e^2} \ln x \, dx = F(e^2) - F(e) = e^2 - 0 = e^2.

Resposta

e^2

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