Calcule:
\int \operatorname{sen}(3-5 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \operatorname{sen}(3-5 x)\,d x.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A função a integrar é \operatorname{sen}(3-5x). (No LaTeX usual usamos \sin, que é equivalente a \operatorname{sen}.)
  • A variável de integração é x.
  • Espera-se uma primitiva (antiderivada) da função, ou seja, uma expressão F(x) tal que F'(x)=\operatorname{sen}(3-5x). Não esqueça da constante de integração C.

Passo 2

Estratégia (sem termos técnicos demais): a expressão dentro do seno é uma função linear de x, (3-5x). Quando temos uma função composta assim, o jeito mais prático é fazer uma mudança de variável (substituição) que transforme a integral numa forma simples que a gente já sabe integrar — neste caso numa integral de \sin de uma variável nova. Vou explicar cada etapa devagar.

Passo 3

Fazemos a substituição
u = 3-5x.
Agora calculamos du em função de dx. Diferenciando ambos os lados em relação a x,
du = \frac{d}{dx}(3-5x)\,dx = (-5)\,dx.
Isolando dx,
dx = \frac{du}{-5}.
Agora substituímos u e dx na integral original. Usando \sin para ficar no padrão do LaTeX,
\int \operatorname{sen}(3-5x)\,dx = \int \sin(u)\,\frac{du}{-5}.

Passo 4

Colocamos a constante fora da integral:
\int \sin(u)\,\frac{du}{-5} = -\frac{1}{5}\int \sin(u)\,du.
Aqui precisamos da fórmula básica de antiderivada:
\int \sin(u)\,du = -\cos(u) + C.
Explicando rapidinho: a derivada de \cos(u) é -\sin(u), então a antiderivada de \sin(u) é -\cos(u). A letra C é a constante de integração.

Passo 5

Aplicando essa antiderivada e multiplicando pelo fator constante:
-\frac{1}{5}\int \sin(u)\,du = -\frac{1}{5}\bigl(-\cos(u)\bigr) + C = \frac{1}{5}\cos(u) + C.
Agora voltamos à variável original x substituindo u=3-5x:
\frac{1}{5}\cos(u) + C = \frac{1}{5}\cos(3-5x) + C.

Passo 6

Verificação rápida (para ter certeza): derivando a resposta encontramos
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{5}\cos(3-5x)\right) = \frac{1}{5}\bigl(-\sin(3-5x)\bigr)\cdot(3-5x)' = \frac{1}{5}(-\sin(3-5x))\cdot(-5) = \sin(3-5x),
que é de fato o integrando. Então está correto.

Passo 7

Um exemplo similar e curtinho para fixar: \int \sin(2x)\,dx. Fazendo u=2x, du=2\,dx, dx=du/2, obtemos \int \sin(u)\,du/2 = -\frac{1}{2}\cos(u)+C = -\frac{1}{2}\cos(2x)+C. Método igualzinho.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{5}\cos(3-5x)+C

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