Calcule:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
.
Informações dadas: a função integranda é . Por ser integral indefinida, a resposta deve conter a constante de integração
.
Informações dadas: a função integranda é
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição de
. Por definição,
Isto é útil porque transforma a função hiperbólica numa combinação simples de exponenciais, que sabemos integrar facilmente.
Passo 3
Vou escolher o método mais direto: usar a relação entre
e
. Mas também vou mostrar a integração pelo uso da definição em exponenciais para você ver que os dois dão exatamente a mesma resposta — assim você aprende duas formas de pensar na prova.
Passo 4
Método rápido (usando derivada conhecida). Lembre que
Vamos diferenciar
passo a passo para ver a relação com
:
Como a derivada de
é exatamente
, concluímos que uma primitiva de
é
. Então
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Método alternativo (integrando exponenciais term a term). Escrevemos a integral usando a definição:
Agora integramos cada termo:
e
. Assim
Mas
, então novamente
Passo 6
Checagem (para não ficar na dúvida): diferencie a resposta final para confirmar:
portanto está correto.
Passo 7
Dica extra para a prova (bem prática): para integrais com uma constante multiplicativa dentro do argumento, use a regra de substituição direta. Por exemplo,
porque ao derivar
aparece um fator
, que precisa ser cancelado na primitiva. Guarde esse padrão — é muito comum.