Calcule:
\int \operatorname{sinh} x d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida \displaystyle \int \operatorname{sinh} x\,dx.
Informações dadas: a função integranda é \operatorname{sinh} x. Por ser integral indefinida, a resposta deve conter a constante de integração C.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de \operatorname{sinh} x. Por definição,
\operatorname{sinh} x = \frac{e^{x}-e^{-x}}{2}.
Isto é útil porque transforma a função hiperbólica numa combinação simples de exponenciais, que sabemos integrar facilmente.

Passo 3

Vou escolher o método mais direto: usar a relação entre \operatorname{sinh} e \operatorname{cosh}. Mas também vou mostrar a integração pelo uso da definição em exponenciais para você ver que os dois dão exatamente a mesma resposta — assim você aprende duas formas de pensar na prova.

Passo 4

Método rápido (usando derivada conhecida). Lembre que
\operatorname{cosh} x = \frac{e^{x}+e^{-x}}{2}.
Vamos diferenciar \operatorname{cosh} x passo a passo para ver a relação com \operatorname{sinh} x:
\frac{d}{dx}\operatorname{cosh} x = \frac{d}{dx}\left(\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\right) = \frac{1}{2}\left(e^{x} - e^{-x}\right) = \operatorname{sinh} x.
Como a derivada de \operatorname{cosh} x é exatamente \operatorname{sinh} x, concluímos que uma primitiva de \operatorname{sinh} x é \operatorname{cosh} x. Então
\int \operatorname{sinh} x\,dx = \operatorname{cosh} x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Método alternativo (integrando exponenciais term a term). Escrevemos a integral usando a definição:
\int \operatorname{sinh} x\,dx = \int \frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\,dx = \frac{1}{2}\int e^{x}\,dx - \frac{1}{2}\int e^{-x}\,dx.
Agora integramos cada termo: \int e^{x}\,dx = e^{x} e \int e^{-x}\,dx = -e^{-x}. Assim
\frac{1}{2}\int e^{x}\,dx - \frac{1}{2}\int e^{-x}\,dx = \frac{1}{2}e^{x} - \frac{1}{2}(-e^{-x}) + C = \frac{e^{x}+e^{-x}}{2} + C.
Mas \dfrac{e^{x}+e^{-x}}{2} = \operatorname{cosh} x, então novamente
\int \operatorname{sinh} x\,dx = \operatorname{cosh} x + C.

Passo 6

Checagem (para não ficar na dúvida): diferencie a resposta final para confirmar:
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{cosh} x + C\big) = \operatorname{sinh} x,
portanto está correto.

Passo 7

Dica extra para a prova (bem prática): para integrais com uma constante multiplicativa dentro do argumento, use a regra de substituição direta. Por exemplo,
\int \operatorname{sinh}(ax)\,dx = \frac{1}{a}\operatorname{cosh}(ax) + C,
porque ao derivar \operatorname{cosh}(ax) aparece um fator a, que precisa ser cancelado na primitiva. Guarde esse padrão — é muito comum.

Resposta

\operatorname{cosh} x + C

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