Utilize
para transformar as integrais:
Passo 1
O enunciado pede para transformar (usar a substituição
) a integral
Informações dadas:
é a substituição que devemos usar.
O objetivo final é obter a integral expressa em termos de e resolver — depois voltar para a variável
se for preciso.
O objetivo final é obter a integral expressa em termos de
Passo 2
Vamos achar as relações que ligam
,
e
a
. Defina
, então
. Usamos as fórmulas do ângulo duplo:
Substituindo
obtemos
Agora
e, como
, temos
Passo 3
Substituímos
,
e
expressos em
na integral original. Primeiro calcule o quociente da integranda:
Note que usei a expressão de
e somei
usando o valor de
obtido em termos de
. Portanto a integranda simplifica para
.
Agora inclua
:
Passo 4
Integramos em
:
Reconheça que a derivada de
é
. Assim a integral é imediata por substituição simples (ou por reconhecer forma
):
onde
é constante de integração.
Passo 5
Voltamos à variável
usando
. Assim
Podemos simplificar usando
:
Outra forma equivalente, frequentemente mais compacta, é
Resposta
ou equivalentemente