Utilize t=\tan (x / 2) para transformar as integrais:
\int \frac{\sin x}{1+\cos x} d x

Passo 1

O enunciado pede para transformar (usar a substituição \,t=\tan\!\left(\frac{x}{2}\right)\,) a integral
\int \frac{\sin x}{1+\cos x}\,dx.
Informações dadas:
\,t=\tan\!\left(\frac{x}{2}\right)\, é a substituição que devemos usar.
O objetivo final é obter a integral expressa em termos de t e resolver — depois voltar para a variável x se for preciso.

Passo 2

Vamos achar as relações que ligam \sin x, \cos x e dx a t. Defina u=\dfrac{x}{2}, então t=\tan u. Usamos as fórmulas do ângulo duplo:
\sin x=\sin(2u)=\frac{2\tan u}{1+\tan^2 u}, \qquad \cos x=\cos(2u)=\frac{1-\tan^2 u}{1+\tan^2 u}.
Substituindo \tan u = t obtemos
\sin x=\frac{2t}{1+t^2}, \qquad \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}.
Agora dx=2\,du e, como dt=\operatorname{sec}^2 u\,du=(1+\tan^2 u)\,du=(1+t^2)\,du, temos
du=\frac{dt}{1+t^2} \quad\Rightarrow\quad dx=2\,du=\frac{2\,dt}{1+t^2}.

Passo 3

Substituímos \sin x, \cos x e dx expressos em t na integral original. Primeiro calcule o quociente da integranda:
\frac{\sin x}{1+\cos x} = \frac{\dfrac{2t}{1+t^2}}{\,1+\dfrac{1-t^2}{1+t^2}\,} = \frac{\dfrac{2t}{1+t^2}}{\dfrac{2}{1+t^2}} = t.
Note que usei a expressão de \sin x e somei 1+\cos x usando o valor de \cos x obtido em termos de t. Portanto a integranda simplifica para t.
Agora inclua dx:
\frac{\sin x}{1+\cos x}\,dx = t\cdot dx = t\cdot\frac{2\,dt}{1+t^2} = \frac{2t}{1+t^2}\,dt.

Passo 4

Integramos em t:
\int \frac{2t}{1+t^2}\,dt.
Reconheça que a derivada de 1+t^2 é 2t. Assim a integral é imediata por substituição simples (ou por reconhecer forma f'(t)/f(t)):
\int \frac{2t}{1+t^2}\,dt = \ln\bigl(1+t^2\bigr) + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Voltamos à variável x usando t=\tan\!\left(\dfrac{x}{2}\right). Assim
\ln\bigl(1+t^2\bigr)+C = \ln\!\Bigl(1+\tan^2\!\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr)\Bigr) + C.
Podemos simplificar usando 1+\tan^2\theta=\operatorname{sec}^2\theta:
\ln\!\Bigl(1+\tan^2\!\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr)\Bigr)=\ln\!\Bigl(\operatorname{sec}^2\!\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr)\Bigr)=2\ln\!\bigl|\operatorname{sec}\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\bigr|.
Outra forma equivalente, frequentemente mais compacta, é
-2\ln\!\bigl|\cos\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\bigr| + C.

Resposta

\ln\!\Bigl(1+\tan^2\!\Bigl(\dfrac{x}{2}\Bigr)\Bigr)+C
ou equivalentemente -2\ln\!\Bigl|\cos\!\Bigl(\dfrac{x}{2}\Bigr)\Bigr|+C

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