Calcule:
\int \operatorname{cosh} ^{2} x d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \operatorname{cosh}^{2} x \, dx.
Informações relevantes que temos no enunciado:
  • A função a integrar é \operatorname{cosh}^{2}x.
  • Trata-se de uma integral indefinida, então a resposta deve conter uma constante de integração C.
  • Não há limites de integração nem outras condições.

Passo 2

Vamos recordar (e explicar) duas identidades e derivadas básicas das funções hiperbólicas que usaremos.
  1. Identidade fundamental:
\operatorname{cosh}^{2}x - \operatorname{sinh}^{2}x = 1.
Isto é análogo à identidade trigonométrica, mas para hiperbólicas.
  1. Identidade do ângulo duplo para \operatorname{cosh}:
\operatorname{cosh}(2x) = \operatorname{cosh}^{2}x + \operatorname{sinh}^{2}x.
Usando as duas identidades acima podemos eliminar \operatorname{sinh}^{2}x: substituindo \operatorname{sinh}^{2}x = \operatorname{cosh}^{2}x - 1 em \operatorname{cosh}(2x) obtemos
\operatorname{cosh}(2x) = \operatorname{cosh}^{2}x + (\operatorname{cosh}^{2}x - 1) = 2\operatorname{cosh}^{2}x - 1.
Isolando \operatorname{cosh}^{2}x temos a identidade útil:
\operatorname{cosh}^{2}x = \frac{\operatorname{cosh}(2x) + 1}{2}.
Essa identidade é análoga à identidade trigonométrica \cos^{2}x = \tfrac{1+\cos(2x)}{2} e é muito útil para integrar potências quadradas.
Também precisamos saber as derivadas/integráveis básicas:
  • \dfrac{d}{dx}\operatorname{sinh} x = \operatorname{cosh} x, logo \displaystyle \int \operatorname{cosh} x\,dx = \operatorname{sinh} x + C.
  • \dfrac{d}{dx}\operatorname{cosh} x = \operatorname{sinh} x, logo \displaystyle \int \operatorname{sinh} x\,dx = \operatorname{cosh} x + C.
  • E, em geral, \displaystyle \int \operatorname{cosh}(ax)\,dx = \frac{1}{a}\operatorname{sinh}(ax) + C (por regra da cadeia).

Passo 3

Usamos a identidade encontrada para reescrever o integrando:
\operatorname{cosh}^{2}x = \frac{\operatorname{cosh}(2x) + 1}{2}.
Portanto a integral se transforma em duas integrais mais simples:
\int \operatorname{cosh}^{2}x\,dx = \int \frac{\operatorname{cosh}(2x)+1}{2}\,dx = \frac{1}{2}\int \operatorname{cosh}(2x)\,dx + \frac{1}{2}\int 1\,dx.

Passo 4

Agora calculamos cada integral separadamente, lembrando que \int \operatorname{cosh}(ax)\,dx = \dfrac{1}{a}\operatorname{sinh}(ax) e \int 1\,dx = x.
  • Para a primeira integral:
\frac{1}{2}\int \operatorname{cosh}(2x)\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\operatorname{sinh}(2x) = \frac{1}{4}\operatorname{sinh}(2x).
(Usamos a=2 na fórmula \int \operatorname{cosh}(ax)\,dx = \frac{1}{a}\operatorname{sinh}(ax).)
  • Para a segunda integral:
\frac{1}{2}\int 1\,dx = \frac{1}{2}x = \frac{x}{2}.

Passo 5

Somando os dois resultados e incluindo a constante de integração C, a primitiva obtida é
\frac{x}{2} + \frac{1}{4}\operatorname{sinh}(2x) + C.
Uma forma equivalente, usando \operatorname{sinh}(2x)=2\operatorname{sinh} x\operatorname{cosh} x, é
\frac{x}{2} + \frac{1}{2}\operatorname{sinh} x\operatorname{cosh} x + C.

Resposta

\displaystyle \frac{x}{2}+\frac{1}{4}\operatorname{sinh}(2x)+C

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