Calcule:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações relevantes que temos no enunciado:
- A função a integrar é
. - Trata-se de uma integral indefinida, então a resposta deve conter uma constante de integração
. - Não há limites de integração nem outras condições.
Passo 2
Vamos recordar (e explicar) duas identidades e derivadas básicas das funções hiperbólicas que usaremos.
- Identidade fundamental:
Isto é análogo à identidade trigonométrica, mas para hiperbólicas.
- Identidade do ângulo duplo para
:
Usando as duas identidades acima podemos eliminar
: substituindo
em
obtemos
Isolando
temos a identidade útil:
Essa identidade é análoga à identidade trigonométrica
e é muito útil para integrar potências quadradas.
Também precisamos saber as derivadas/integráveis básicas:
-
, logo . -
, logo . - E, em geral,
(por regra da cadeia).
Passo 3
Usamos a identidade encontrada para reescrever o integrando:
Portanto a integral se transforma em duas integrais mais simples:
Passo 4
Agora calculamos cada integral separadamente, lembrando que
e
.
- Para a primeira integral:
(Usamos
na fórmula
.)
- Para a segunda integral:
Passo 5
Somando os dois resultados e incluindo a constante de integração
, a primitiva obtida é
Uma forma equivalente, usando
, é