Calcule:
(a)
\int_{-3}^{6}|x-4| d x
(b)
\int_{1}^{4} \sqrt{5-x} d x
(c)
\int_{-1}^{1}(x^{2}-1)^{3} x d x
(d)
\int_{0}^{1} \frac{1}{(3-2 x)^{2}} d x
(e)
\int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)^{3}} d x
(f)
\int_{\pi / 2}^{\pi} \cos (x / 3) d x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de seis integrais definidas envolvendo funções diversas: valor absoluto, radicais, polinômios simétricos, funções racionais e trigonométricas. O conteúdo envolve discussão de pontos de quebra (no caso de valor absoluto), uso de substituição (para radicais e funções racionais), exploração de simetria (para integranda ímpar), e aplicação do Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Para (a) \displaystyle \int_{-3}^{6}|x-4|\,dx quebramos o domínio em x<4 e x\ge4:
\int_{-3}^{6}|x-4|\,dx =\int_{-3}^{4}(4-x)\,dx+\int_{4}^{6}(x-4)\,dx.
Calculemos cada parte:
\int_{-3}^{4}(4-x)\,dx =\bigl[4x-\tfrac{x^2}{2}\bigr]_{-3}^{4} =(16-8)-\bigl(-12-\tfrac{9}{2}\bigr) =8-(-\tfrac{33}{2}) =\tfrac{49}{2},
\int_{4}^{6}(x-4)\,dx =\Bigl[\tfrac{(x-4)^2}{2}\Bigr]_{4}^{6} =\tfrac{4}{2} =2.
Somando vem \tfrac{49}{2}+2=\tfrac{53}{2}.

Passo 3

Para (b) \displaystyle \int_{1}^{4}\sqrt{5-x}\,dx faça u=5-x, du=-dx. Quando x=1, u=4; quando x=4, u=1. Logo
\int_{1}^{4}\sqrt{5-x}\,dx =\int_{4}^{1}u^{1/2}(-du) =\int_{1}^{4}u^{1/2}\,du =\bigl[\tfrac{2}{3}u^{3/2}\bigr]_{1}^{4} =\tfrac{2}{3}(8-1) =\tfrac{14}{3}.

Passo 4

Para (c) \displaystyle \int_{-1}^{1}(x^{2}-1)^{3}x\,dx, observe que a função f(x)=(x^2-1)^3x é ímpar (produto de par por ímpar). Em intervalos simétricos, a integral de função ímpar é zero. Portanto
\int_{-1}^{1}(x^{2}-1)^{3}x\,dx=0.

Passo 5

Para (d) \displaystyle \int_{0}^{1}\frac{1}{(3-2x)^{2}}\,dx, use u=3-2x, du=-2\,dx, dx=-\tfrac{du}{2}. Quando x=0, u=3; quando x=1, u=1. Assim
\int_{0}^{1}\frac{1}{(3-2x)^{2}}\,dx =\int_{3}^{1}\frac{1}{u^{2}}\Bigl(-\tfrac{du}{2}\Bigr) =\tfrac{1}{2}\int_{1}^{3}u^{-2}\,du =\tfrac{1}{2}\Bigl[-u^{-1}\Bigr]_{1}^{3} =\tfrac{1}{2}\Bigl(-\tfrac{1}{3}+1\Bigr) =\tfrac{1}{3}.

Passo 6

Para (e) \displaystyle \int_{1}^{4}\frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)^{3}}\,dx, faça t=\sqrt{x}, x=t^{2}, dx=2t\,dt. Quando x=1, t=1; quando x=4, t=2. Então
\int_{1}^{4}\frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)^{3}}\,dx = \int_{1}^{2}\frac{1}{t\,(t+1)^{3}}\cdot 2t\,dt =2\int_{1}^{2}(t+1)^{-3}\,dt =2\Bigl[\tfrac{(t+1)^{-2}}{-2}\Bigr]_{1}^{2} = -\bigl[(t+1)^{-2}\bigr]_{1}^{2} = -\Bigl(\tfrac{1}{9}-\tfrac{1}{4}\Bigr) =\tfrac{5}{36}.

Passo 7

Para (f) \displaystyle \int_{\pi/2}^{\pi}\cos\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr)\,dx, use u=\tfrac{x}{3}, dx=3\,du. Quando x=\tfrac{\pi}{2}, u=\tfrac{\pi}{6}; quando x=\pi, u=\tfrac{\pi}{3}. Assim
\int_{\pi/2}^{\pi}\cos\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr)\,dx =3\int_{\pi/6}^{\pi/3}\cos u\,du =3\bigl[\sin u\bigr]_{\pi/6}^{\pi/3} =3\Bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}-\tfrac{1}{2}\Bigr) =\tfrac{3\sqrt{3}}{2}-\tfrac{3}{2}.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{53}{2}
(b) \displaystyle \frac{14}{3}
(c) 0
(d) \displaystyle \tfrac{1}{3}
(e) \displaystyle \tfrac{5}{36}
(f) \displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}-\frac{3}{2}

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