Calcule:
(a)
\int_{0}^{1} x e^{x} d x
(b)
\int_{1}^{2} \ln x d x
(c)
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{x} \cos x d x
(d)
\int_{0}^{x} t^{2} e^{-s t} d t,(s \neq 0)

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de quatro integrais definidas, sendo três delas em limites numéricos e a última em função de x. O método principal será a integração por partes, que diz que
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du
além de conhecimentos de antiderivadas básicas como \int e^x\,dx = e^x e \int \ln x\,dx = x\ln x - x.

Passo 2

Para \displaystyle\int_{0}^{1} x e^{x}\,dx, tomamos
u = x,\quad dv = e^x\,dx \quad\Longrightarrow\quad du = dx,\quad v = e^x.
Aplicando integração por partes em [0,1],
\int_{0}^{1} x e^{x}\,dx = \bigl[x e^x\bigr]_{0}^{1} \;-\;\int_{0}^{1} e^x\,dx = \bigl(1\cdot e^1 - 0\bigr) - \bigl(e^1 - e^0\bigr) = e - (e - 1) = 1.

Passo 3

Para \displaystyle\int_{1}^{2} \ln x\,dx, tomamos
u = \ln x,\quad dv = dx \quad\Longrightarrow\quad du = \frac{1}{x}\,dx,\quad v = x.
Então
\int_{1}^{2} \ln x\,dx = \bigl[x\ln x\bigr]_{1}^{2} \;-\;\int_{1}^{2} x\cdot\frac{1}{x}\,dx = \bigl(2\ln 2 - 1\cdot 0\bigr) - \int_{1}^{2}1\,dx = 2\ln 2 - (2 - 1) = 2\ln 2 - 1.

Passo 4

Para \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{x}\cos x\,dx, primeiro achamos a antiderivada indefinida
I = \int e^x\cos x\,dx.
Fazendo duas vezes integração por partes (ou usando o sistema I = \int e^x\cos x\,dx e J = \int e^x\sin x\,dx), obtém-se
I = \frac{e^x}{2}\bigl(\sin x + \cos x\bigr) + C.
Avaliaremos de 0 a \tfrac\pi2:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{x}\cos x\,dx = \left[\frac{e^x}{2}(\sin x + \cos x)\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{e^{\frac{\pi}{2}}}{2}(1+0) - \frac{e^0}{2}(0+1) = \frac{e^{\frac{\pi}{2}} - 1}{2}.

Passo 5

Para \displaystyle\int_{0}^{x} t^{2}e^{-s t}\,dt com s\neq 0, primeiro achamos
F(t)=\int t^{2}e^{-st}\,dt
por partes duas vezes. O resultado é
F(t) = -\frac{t^{2}}{s}e^{-st} -\frac{2t}{s^{2}}e^{-st} -\frac{2}{s^{3}}e^{-st} + C.
Logo, a integral definida fica
\int_{0}^{x} t^{2}e^{-s t}\,dt = F(x)-F(0) = \Bigl(-\tfrac{x^{2}}{s}e^{-s x}-\tfrac{2x}{s^{2}}e^{-s x}-\tfrac{2}{s^{3}}e^{-s x}\Bigr) -\Bigl(-\tfrac{2}{s^{3}}\Bigr)
= \frac{2}{s^{3}} -\!e^{-s x}\!\Bigl(\tfrac{x^{2}}{s}+\tfrac{2x}{s^{2}}+\tfrac{2}{s^{3}}\Bigr).

Resposta

(a) 1
(b) 2\ln 2 - 1
(c) \displaystyle\frac{e^{\frac{\pi}{2}} - 1}{2}
(d) \displaystyle\frac{2}{s^{3}} \;-\; e^{-s x}\Bigl(\frac{x^{2}}{s}+\frac{2x}{s^{2}}+\frac{2}{s^{3}}\Bigr)

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