Descubra a o termo geral a_{n} das sequências abaixo:
(1,0,4,2,2,8,4,4,16,8,6,32 \cdots).

Passo 1

O enunciado dá a sequência
(1,0,4,\;2,2,8,\;4,4,16,\;8,6,32,\;\dots)
e pede o termo geral a_{n}. Note que ela se organiza em blocos de três termos:
(a_{1},a_{2},a_{3}),\;(a_{4},a_{5},a_{6}),\;(a_{7},a_{8},a_{9}),\dots
ou seja, para cada inteiro k\ge0 temos os termos nos índices 3k+1, 3k+2 e 3k+3. Vamos achar cada um desses três “ramos”.

Passo 2

Olhemos aos termos de índice 3k+1:
a_{1}=1,\;a_{4}=2,\;a_{7}=4,\;a_{10}=8,\;\dots
Isso é uma progressão geométrica de razão 2, pois a cada bloco o valor dobra. Logo, para k=0,1,2,\dots vale
a_{3k+1}=2^{k}.

Passo 3

Agora o termo de índice 3k+2:
a_{2}=0,\;a_{5}=2,\;a_{8}=4,\;a_{11}=6,\;\dots
Aqui é uma progressão aritmética de primeira termo 0 e diferença 2. Assim, para k=0,1,2,\dots temos
a_{3k+2}=2\,k.

Passo 4

Por fim, o termo de índice 3k+3:
a_{3}=4,\;a_{6}=8,\;a_{9}=16,\;a_{12}=32,\;\dots
Também é PG de razão 2, começando em 4=2^{2}. Assim, para k=0,1,2,\dots
a_{3k+3}=2^{k+2}.

Passo 5

Unindo as três fórmulas de acordo com o resto de n módulo 3, temos
a_{n}= \begin{cases} 2^{\frac{n-1}{3}},&\text{se }n\equiv1\pmod{3},\\\\ 2\cdot\frac{n-2}{3},&\text{se }n\equiv2\pmod{3},\\\\ 2^{\frac{n}{3}+1},&\text{se }n\equiv0\pmod{3}. \end{cases}

Resposta

a_{n}= \begin{cases} 2^{\frac{n-1}{3}},&n\equiv1\pmod{3},\\\\ 2\,\dfrac{n-2}{3},&n\equiv2\pmod{3},\\\\ 2^{\frac{n}{3}+1},&n\equiv0\pmod{3}. \end{cases}

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