Calcule \int_{0}^{4} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{1-x} x^{2} \operatorname{sen} y d z d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\int_{0}^{4}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{1-x} x^{2}\,\operatorname{sen} y\;dz\;dx\;dy.
Informações relevantes dadas:
  • A ordem das integrais (pelos diferenciais) é: integral interna em z com dz, integral do meio em x com dx e integral externa em y com dy.
  • Os limites são: z varia de 0 a 1-x, x varia de 0 a \pi e y varia de 0 a 4.
  • O integrando é x^{2}\,\operatorname{sen} y. Observação: o integrando não depende de z.

Passo 2

Primeiro integramos em relação a z. Como o integrando não depende de z, a integral em z é simplesmente o integrando multiplicado pelo comprimento do intervalo em z. Ou seja,
\int_{0}^{1-x} x^{2}\,\operatorname{sen} y\;dz = x^{2}\,\operatorname{sen} y \int_{0}^{1-x} dz = x^{2}\,\operatorname{sen} y\,(1-x).
Aqui usei a propriedade básica: se a é constante em relação a z, então \int_{z_1}^{z_2} a\,dz = a(z_2-z_1).

Passo 3

Substituindo na integral tripla obtemos uma integral dupla em x e y:
\int_{0}^{4}\int_{0}^{\pi} x^{2}\,\operatorname{sen} y\,(1-x)\;dx\;dy.
Note que agora o integrando é produto de uma função que depende só de x, x^{2}(1-x), e de uma função que depende só de y, \operatorname{sen} y. Quando o integrando se separa dessa forma, a integral dupla se fatoriza:
\int_{0}^{4}\int_{0}^{\pi} x^{2}(1-x)\,\operatorname{sen} y\;dx\;dy = \left(\int_{0}^{4}\operatorname{sen} y\;dy\right)\left(\int_{0}^{\pi} x^{2}(1-x)\;dx\right).
Isto decorre da propriedade \int_{A}\int_{B} f(x)g(y)\,dx\,dy = \left(\int_{A} f(x)dx\right)\left(\int_{B} g(y)dy\right) quando f e g são integráveis.

Passo 4

Calcule a parte em y:
\int_{0}^{4}\operatorname{sen} y\;dy.
Uma primitiva de \operatorname{sen} y é -\cos y. Então
\int_{0}^{4}\operatorname{sen} y\;dy = \bigl[-\cos y\bigr]_{0}^{4} = -\cos 4 -(-\cos 0) = 1-\cos 4,
pois \cos 0 = 1.

Passo 5

Calcule a parte em x:
\int_{0}^{\pi} x^{2}(1-x)\;dx.
Primeiro expandimos o integrando:
x^{2}(1-x)=x^{2}-x^{3}.
Uma primitiva de x^{2}-x^{3} é \dfrac{x^{3}}{3}-\dfrac{x^{4}}{4}. Portanto
\int_{0}^{\pi} x^{2}(1-x)\;dx = \left[\dfrac{x^{3}}{3}-\dfrac{x^{4}}{4}\right]_{0}^{\pi} = \dfrac{\pi^{3}}{3}-\dfrac{\pi^{4}}{4}.

Passo 6

Multiplicando os dois resultados obtemos o valor da integral original:
\left(1-\cos 4\right)\left(\dfrac{\pi^{3}}{3}-\dfrac{\pi^{4}}{4}\right).
Se quiser, podemos fatorar \pi^{3}:
\pi^{3}\left(1-\cos 4\right)\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\pi^{3}}{12}\left(1-\cos 4\right)(4-3\pi).

Resposta

\displaystyle \left(1-\cos 4\right)\left(\dfrac{\pi^{3}}{3}-\dfrac{\pi^{4}}{4}\right)

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