Calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
Informações relevantes dadas:
- A ordem das integrais (pelos diferenciais) é: integral interna em
com , integral do meio em com e integral externa em com . - Os limites são:
varia de a , varia de a e varia de a . - O integrando é
. Observação: o integrando não depende de .
Passo 2
Primeiro integramos em relação a
. Como o integrando não depende de
, a integral em
é simplesmente o integrando multiplicado pelo comprimento do intervalo em
. Ou seja,
Aqui usei a propriedade básica: se
é constante em relação a
, então
.
Passo 3
Substituindo na integral tripla obtemos uma integral dupla em
e
:
Note que agora o integrando é produto de uma função que depende só de
,
, e de uma função que depende só de
,
. Quando o integrando se separa dessa forma, a integral dupla se fatoriza:
Isto decorre da propriedade
quando
e
são integráveis.
Passo 4
Calcule a parte em
:
Uma primitiva de
é
. Então
pois
.
Passo 5
Calcule a parte em
:
Primeiro expandimos o integrando:
Uma primitiva de
é
. Portanto
Passo 6
Multiplicando os dois resultados obtemos o valor da integral original:
Se quiser, podemos fatorar
: