Encontre a transformada de Laplace da função f dada por f(t)=\left\{\begin{array}{l}1,0 \leq t<3 \\\\ 0, t \geq 3\end{array}\right.. \mathrm{R}:-\frac{e^{-3 s}}{s}+\frac{1}{s}, s>0
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a transformada de Laplace da função f\) definida por
\[f(t)=\begin{cases} 1, & 0 \le t < 3,\\[4pt] 0, & t \ge 3. \end{cases}
Temos, portanto, que calcular \mathcal{L}\{f\}(s)\]. As informações relevantes são: o valor de \(f(t) em cada intervalo e que a transformada é uma integral no semi-eixo positivo (começa em t=0). Não há outras condições fornecidas; o resultado pedido na questão é -\dfrac{e^{-3s}}{s}+\dfrac{1}{s} para s>0.]
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da definição da transformada de Laplace e o que cada símbolo significa. A transformada de Laplace de uma função f(t) é
A segunda integral é zero porque o integrando é identicamente zero para t\ge 3. Logo resta apenas
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{3} e^{-st}\,dt.
Passo 4
Vamos calcular a integral \int_{0}^{3} e^{-st}\,dt passo a passo. Uma antiderivada de e^{-st} em relação a t é -\dfrac{1}{s}e^{-st}. Aplicando o teorema fundamental do cálculo entre 0 e 3:
Sobre a condição de convergência: a integral acima converge para \,s>0, que é a condição usual quando lidamos com funções que não crescem exponencialmente. Assim o resultado é válido para \,s>0.
Passo 6
Opcional (útil na prova): representação com a função degrau de Heaviside. Podemos escrever a função como
f(t)=1-u(t-3),
onde u(t-3) vale 0 para t<3 e 1 para t\ge3. Pela linearidade da transformada e pela fórmula