Calcule \iiint_{\omega} \frac{d x d y d z}{(x+y+z+1)^{2}} se \omega é sólido limitado pelo plano x+y+z=1 e pelos planos coordenados.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
\iiint_{\omega}\frac{dx\,dy\,dz}{(x+y+z+1)^{2}}
onde \omega é o sólido limitado pelo plano x+y+z=1 e pelos planos coordenados. Informações relevantes e o que é pedido:
A região \omega é o tetraedro no primeiro octante definido por\omega=\{(x,y,z)\mid x\ge0,\;y\ge0,\;z\ge0,\;x+y+z\le1\}.
A função integranda é f(x,y,z)=\dfrac{1}{(x+y+z+1)^{2}}.
Precisamos calcular a integral tripla dessa função sobre \omega.
Passo 2
Vamos usar integração iterada (ordem dz\,dy\,dx), que é natural porque os planos coordenados e x+y+z=1 dão limites simples nessa ordem, e porque a integranda depende apenas de x+y+z, o que facilita a integração em z.