Calcule \iiint_{\omega} \frac{d x d y d z}{(x+y+z+1)^{2}} se \omega é sólido limitado pelo plano x+y+z=1 e pelos planos coordenados.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\iiint_{\omega}\frac{dx\,dy\,dz}{(x+y+z+1)^{2}}
onde \omega é o sólido limitado pelo plano x+y+z=1 e pelos planos coordenados. Informações relevantes e o que é pedido:
  • A região \omega é o tetraedro no primeiro octante definido por \omega=\{(x,y,z)\mid x\ge0,\;y\ge0,\;z\ge0,\;x+y+z\le1\}.
  • A função integranda é f(x,y,z)=\dfrac{1}{(x+y+z+1)^{2}}.
  • Precisamos calcular a integral tripla dessa função sobre \omega.

Passo 2

Vamos usar integração iterada (ordem dz\,dy\,dx), que é natural porque os planos coordenados e x+y+z=1 dão limites simples nessa ordem, e porque a integranda depende apenas de x+y+z, o que facilita a integração em z.
Os limites para cada variável são:
  • Para x: 0\le x\le1.
  • Para cada x fixo, y varia de 0 a 1-x.
  • Para x,y fixos, z varia de 0 a 1-x-y.
Portanto escrevemos a integral iterada:
\iiint_{\omega}\frac{dx\,dy\,dz}{(x+y+z+1)^{2}} =\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{1-x}\int_{z=0}^{1-x-y}\frac{dz\,dy\,dx}{(x+y+z+1)^{2}}.

Passo 3

Avaliamo a integral interna em z. Usamos a primitiva da função \dfrac{1}{(x+y+z+1)^{2}} em relação a z.
Fórmula útil: para u=z+\text{const},
\int \frac{du}{u^{2}}=-\frac{1}{u}+C.
Aqui u=x+y+z+1. Logo
\int_{z=0}^{1-x-y}\frac{dz}{(x+y+z+1)^{2}} =\left[-\frac{1}{x+y+z+1}\right]_{z=0}^{z=1-x-y}.
Agora avaliamo os limites:
  • Para z=1-x-y temos x+y+z+1= x+y+(1-x-y)+1=2.
  • Para z=0 temos x+y+0+1=x+y+1.
Portanto a integral em z é
-\frac{1}{2}-\left(-\frac{1}{x+y+1}\right)=\frac{1}{x+y+1}-\frac{1}{2}.
Substituindo, a integral reduz-se a
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x}\left(\frac{1}{x+y+1}-\frac{1}{2}\right)dy\,dx.

Passo 4

Agora integramos em y. Separe a integral em duas partes:
\int_{y=0}^{1-x}\frac{dy}{x+y+1} \quad\text{e}\quad \int_{y=0}^{1-x}\left(-\frac{1}{2}\right)dy.
Para a primeira parte, use a primitiva de 1/(x+y+1) em y, que é \ln(x+y+1) (pois \dfrac{d}{dy}\ln(x+y+1)=\dfrac{1}{x+y+1}). Então
\int_{0}^{1-x}\frac{dy}{x+y+1}=\left[\ln(x+y+1)\right]_{0}^{1-x}=\ln 2-\ln(x+1).
Para a segunda parte,
\int_{0}^{1-x}\left(-\frac{1}{2}\right)dy=-\frac{1}{2}(1-x)=-\frac{1}{2}+\frac{x}{2}.
Somando as duas partes, a integral em y produz a função de x
\ln 2-\ln(x+1)-\frac{1}{2}+\frac{x}{2}.
Logo agora precisamos calcular
\int_{0}^{1}\left(\ln 2-\ln(x+1)-\frac{1}{2}+\frac{x}{2}\right)dx.

Passo 5

Integramos termo a termo em x de 0 a 1.
  1. \displaystyle \int_{0}^{1}\ln 2\,dx=\ln 2. (constante)
  2. \displaystyle -\int_{0}^{1}\ln(x+1)\,dx.
    Use a primitiva \int \ln(x+1)\,dx=(x+1)\ln(x+1)-x. Portanto
    \int_{0}^{1}\ln(x+1)\,dx=\big[(x+1)\ln(x+1)-x\big]_{0}^{1}=(2\ln 2-1)-0=2\ln 2-1.
    Com o sinal menos:
    -\int_{0}^{1}\ln(x+1)\,dx=-(2\ln 2-1)=-2\ln 2+1.
  3. \displaystyle \int_{0}^{1}\left(-\frac{1}{2}\right)dx=-\frac{1}{2}.
  4. \displaystyle \int_{0}^{1}\frac{x}{2}\,dx=\frac{1}{2}\cdot\frac{x^{2}}{2}\Big|_{0}^{1}=\frac{1}{4}.
Some os quatro resultados:
\ln 2 +(-2\ln 2+1)-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}.
Agrupando termos de \ln 2 e constantes:
(\ln 2-2\ln 2)+\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)=-\ln 2+\frac{3}{4}.
Portanto o valor da integral tripla é -\ln 2+\tfrac{3}{4}.

Resposta

-\ln 2+\dfrac{3}{4}

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