Calcule:
\int_{-1}^{\pi} e^{-x} \cos (2 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{-1}^{\pi} e^{-x}\cos(2x)\,dx.
O conteúdo envolvido é a integração de um produto exponencial–cosseno. Para resolver, vamos usar a fórmula conhecida da antiderivada de e^{ax}\cos(bx).

Passo 2

Lembramos que, para constantes a e b, vale
\int e^{ax}\cos(bx)\,dx = \frac{e^{ax}}{a^2+b^2}\bigl(a\cos(bx)+b\sin(bx)\bigr)+C.
Aqui temos a=-1 e b=2, logo a^2+b^2=1+4=5.

Passo 3

Substituindo a=-1 e b=2 na fórmula, obtemos uma primitiva
F(x) = \int e^{-x}\cos(2x)\,dx = \frac{e^{-x}}{5}\Bigl((-1)\cos(2x)+2\sin(2x)\Bigr)+C = \frac{e^{-x}}{5}\bigl(-\cos(2x)+2\sin(2x)\bigr)+C.

Passo 4

Agora avaliamos F nos limites x=\pi e x=-1:
F(\pi) = \frac{e^{-\pi}}{5}\bigl(-\cos(2\pi)+2\sin(2\pi)\bigr) = \frac{e^{-\pi}}{5}(-1+0) = -\frac{e^{-\pi}}{5},
F(-1) = \frac{e^{\,1}}{5}\bigl(-\cos(-2)+2\sin(-2)\bigr) = \frac{e}{5}\bigl(-\cos2 -2\sin2\bigr) = -\frac{e}{5}\bigl(\cos2+2\sin2\bigr).

Passo 5

A integral definida é
\int_{-1}^{\pi} e^{-x}\cos(2x)\,dx = F(\pi)-F(-1) = -\frac{e^{-\pi}}{5} -\Bigl(-\frac{e}{5}(\cos2+2\sin2)\Bigr) = \frac{e(\cos2+2\sin2)-e^{-\pi}}{5}.

Resposta

\int_{-1}^{\pi} e^{-x}\cos(2x)\,dx = \frac{e\bigl(\cos2+2\sin2\bigr)-e^{-\pi}}{5}.

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