(3) Sejam m, n \in \mathbb{N}. Calcule \int \operatorname{sen}(m x) \operatorname{sen}(n x) d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \sin(m x)\,\sin(n x)\,dx,
onde m,n\in\mathbb{N}. O conteúdo usado será a fórmula de produto-para-soma de funções trigonométricas e integração direta de funções cosseno.

Passo 2

Usamos a identidade de produto-para-soma:
\sin(A)\,\sin(B) =\frac{1}{2}\bigl[\cos(A-B)-\cos(A+B)\bigr].
Substituindo A=mx e B=nx, obtém-se
\sin(mx)\,\sin(nx) =\frac{1}{2}\bigl[\cos\bigl((m-n)x\bigr)-\cos\bigl((m+n)x\bigr)\bigr].

Passo 3

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\int \sin(mx)\,\sin(nx)\,dx =\frac{1}{2}\int\Bigl[\cos\bigl((m-n)x\bigr)-\cos\bigl((m+n)x\bigr)\Bigr]dx.
Para k\neq0 vale
\int \cos(kx)\,dx = \frac{\sin(kx)}{k}.

Passo 4

Caso m\neq n, integramos cada termo:
\int \sin(mx)\,\sin(nx)\,dx =\frac{1}{2}\Bigl(\frac{\sin\bigl((m-n)x\bigr)}{m-n} -\frac{\sin\bigl((m+n)x\bigr)}{m+n}\Bigr)+C.
Para m=n, usamos \sin^2(mx)=\tfrac{1-\cos(2mx)}{2} e obtemos
\int \sin^2(mx)\,dx =\int \frac{1-\cos(2mx)}{2}\,dx =\frac{x}{2}-\frac{\sin(2mx)}{4m}+C.

Resposta

Para m\neq n:
\int \sin(mx)\,\sin(nx)\,dx =\frac{1}{2}\Bigl(\frac{\sin((m-n)x)}{m-n} -\frac{\sin((m+n)x)}{m+n}\Bigr)+C.
Para m = n:
\int \sin^2(mx)\,dx =\frac{x}{2}-\frac{\sin(2mx)}{4m}+C.

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