Calcule:
\int_{0}^{\pi+2 i} \cos \frac{z}{2} d z

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int_{0}^{\pi+2 i} \cos\frac{z}{2}\,dz.
Informações dadas:
  • A função integranda é \cos\frac{z}{2}.
  • O intervalo de integração vai do ponto inicial 0 até o ponto final \pi+2i.
  • Não foi especificado um caminho explícito entre esses pontos.

Passo 2

Ideia principal (explicação didática): se uma função G(z) tem uma primitiva F(z) (isto é, F'(z)=G(z) em todo o domínio considerado), então a integral de G entre dois pontos a e b é dada por
\int_a^b G(z)\,dz = F(b)-F(a).
Isto é análogo ao Teorema Fundamental do Cálculo para funções de variável real; na parte complexa a mesma regra vale sempre que existir uma primitiva no domínio que contém o caminho. Vamos procurar uma primitiva de \cos\frac{z}{2}.

Passo 3

Encontrar a primitiva (passo a passo): considere a função
F(z)=2\sin\frac{z}{2}.
Vamos verificar que F é realmente uma primitiva de \cos\frac{z}{2}. Usando a regra da cadeia (que também vale para derivadas complexas), temos
F'(z)=2\cdot\cos\frac{z}{2}\cdot\frac{d}{dz}\!\left(\frac{z}{2}\right)=2\cdot\cos\frac{z}{2}\cdot\frac{1}{2}=\cos\frac{z}{2}.
Portanto F'(z)=\cos\frac{z}{2}. Como \sin z é inteira e a composição com uma função linear preserva essa propriedade, F existe e é válida em todo \mathbb{C}. Logo a integral é independente do caminho e podemos usar a diferença de valores da primitiva.

Passo 4

Aplicar a primitiva entre os pontos dados:
\int_{0}^{\pi+2 i} \cos\frac{z}{2}\,dz = F(\pi+2i)-F(0) = 2\sin\!\left(\frac{\pi+2i}{2}\right) - 2\sin 0.
Como \sin 0 = 0, isto fica
\int_{0}^{\pi+2 i} \cos\frac{z}{2}\,dz = 2\sin\!\left(\frac{\pi}{2}+i\right).

Passo 5

Calcular \sin\!\left(\frac{\pi}{2}+i\right) (fórmula e aplicação): para x,y\in\mathbb{R} vale a identidade
\sin(x+iy)=\sin x\operatorname{cosh} y + i\cos x\operatorname{sinh} y.
Aplicando com x=\frac{\pi}{2} e y=1 obtemos
\sin\!\left(\frac{\pi}{2}+i\right)=\sin\frac{\pi}{2}\operatorname{cosh} 1 + i\cos\frac{\pi}{2}\operatorname{sinh} 1 = 1\cdot\operatorname{cosh} 1 + i\cdot 0 \cdot\operatorname{sinh} 1 = \operatorname{cosh} 1.
Portanto
\int_{0}^{\pi+2 i} \cos\frac{z}{2}\,dz = 2\operatorname{cosh} 1.

Resposta

2\operatorname{cosh} 1

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