Calcule:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral
Informações dadas:
- A função integranda é
. - O intervalo de integração vai do ponto inicial
até o ponto final . - Não foi especificado um caminho explícito entre esses pontos.
Passo 2
Ideia principal (explicação didática): se uma função
tem uma primitiva
(isto é,
em todo o domínio considerado), então a integral de
entre dois pontos
e
é dada por
Isto é análogo ao Teorema Fundamental do Cálculo para funções de variável real; na parte complexa a mesma regra vale sempre que existir uma primitiva no domínio que contém o caminho. Vamos procurar uma primitiva de
.
Passo 3
Encontrar a primitiva (passo a passo): considere a função
Vamos verificar que
é realmente uma primitiva de
. Usando a regra da cadeia (que também vale para derivadas complexas), temos
Portanto
. Como
é inteira e a composição com uma função linear preserva essa propriedade,
existe e é válida em todo
. Logo a integral é independente do caminho e podemos usar a diferença de valores da primitiva.
Passo 4
Aplicar a primitiva entre os pontos dados:
Como
, isto fica
Passo 5
Calcular
(fórmula e aplicação): para
vale a identidade
Aplicando com
e
obtemos
Portanto