Calcule as integrais dadas
\int_{1}^{2}\left(\frac{1}{t}-i\right)^{2} d t

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Calcular a integral \displaystyle \int_{1}^{2}\left(\frac{1}{t}-i\right)^{2}\,dt.
  • O intervalo de integração é [1,2].
  • A expressão envolve i, a unidade imaginária (ou seja, i^{2}=-1).
  • Não há outras informações adicionais.

Passo 2

Primeiro passo prático: desenvolver o quadrado para escrever a integranda de forma mais fácil de integrar. Vamos expandir
\left(\frac{1}{t}-i\right)^{2}.
Utilizando a identidade (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 com a=\dfrac{1}{t} e b=i, obtemos
\left(\frac{1}{t}-i\right)^{2}=\frac{1}{t^{2}}-2i\cdot\frac{1}{t}+i^{2}.
Como i^{2}=-1, isso fica
\left(\frac{1}{t}-i\right)^{2}=\frac{1}{t^{2}}-\frac{2i}{t}-1.

Passo 3

Agora usamos linearidade da integral: podemos integrar termo a termo. Além disso, para funções complexas vale que se f(t)=u(t)+i v(t) então \int f=\int u + i\int v. Assim
\int_{1}^{2}\left(\frac{1}{t}-i\right)^{2}\,dt =\int_{1}^{2}\frac{1}{t^{2}}\,dt-\int_{1}^{2}\frac{2i}{t}\,dt-\int_{1}^{2}1\,dt.
Vou calcular cada integral separadamente.

Passo 4

Calcular \displaystyle \int_{1}^{2}\frac{1}{t^{2}}\,dt.
  • Reconhecer que \dfrac{1}{t^{2}}=t^{-2}.
  • Antiderivada: \displaystyle \int t^{-2}\,dt = -t^{-1} + C = -\frac{1}{t}+C.
  • Avaliando de 1 a 2:
\int_{1}^{2}\frac{1}{t^{2}}\,dt = \left[-\frac{1}{t}\right]_{1}^{2} = -\frac{1}{2} -\left(-1\right)= -\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}.

Passo 5

Calcular \displaystyle \int_{1}^{2}\frac{2i}{t}\,dt (note o sinal negativo na soma original).
  • Antiderivada de \dfrac{1}{t} é \ln t.
  • Então \displaystyle \int \frac{2i}{t}\,dt = 2i\ln t + C.
  • Avaliando de 1 a 2:
\int_{1}^{2}\frac{2i}{t}\,dt = 2i\bigl(\ln 2 - \ln 1\bigr) = 2i\ln 2,
pois \ln 1 = 0.
  • Como na expressão do Passo 3 temos -\int_{1}^{2}\dfrac{2i}{t}\,dt, isso contribui com -2i\ln 2.

Passo 6

Calcular \displaystyle \int_{1}^{2}1\,dt.
  • Antiderivada de 1 é t.
  • Avaliando de 1 a 2:
\int_{1}^{2}1\,dt = [t]_{1}^{2} = 2-1 = 1.
  • Na soma do Passo 3 esse termo entra com sinal negativo, contribuindo com -1.

Passo 7

Somar os resultados parciais obtidos nos passos anteriores:
\int_{1}^{2}\left(\frac{1}{t}-i\right)^{2}\,dt = \frac{1}{2} \;-\; 2i\ln 2 \;-\; 1.
Simplificando a parte real \dfrac{1}{2}-1 = -\dfrac{1}{2}, obtemos
\int_{1}^{2}\left(\frac{1}{t}-i\right)^{2}\,dt = -\frac{1}{2} - 2i\ln 2.

Resposta

-\dfrac{1}{2}-2i\ln 2

Exercícios relacionados