Calcule as integrais dadas
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Calcular a integral
. - O intervalo de integração é
. - A expressão envolve
, a unidade imaginária (ou seja, ). - Não há outras informações adicionais.
Passo 2
Primeiro passo prático: desenvolver o quadrado para escrever a integranda de forma mais fácil de integrar. Vamos expandir
Utilizando a identidade
com
e
, obtemos
Como
, isso fica
Passo 3
Agora usamos linearidade da integral: podemos integrar termo a termo. Além disso, para funções complexas vale que se
então
. Assim
Vou calcular cada integral separadamente.
Passo 4
Calcular
.
- Reconhecer que
. - Antiderivada:
. - Avaliando de
a :
Passo 5
Calcular
(note o sinal negativo na soma original).
- Antiderivada de
é . - Então
. - Avaliando de
a :
pois
.
- Como na expressão do Passo 3 temos
, isso contribui com .
Passo 6
Calcular
.
- Antiderivada de
é . - Avaliando de
a :
- Na soma do Passo 3 esse termo entra com sinal negativo, contribuindo com
.
Passo 7
Somar os resultados parciais obtidos nos passos anteriores:
Simplificando a parte real
, obtemos