Calcule:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o valor da integral complexa
Informações dadas:
- O integrando é
. - O intervalo de integração vai do ponto inicial
ao ponto final . - Não foi especificado um caminho, apenas os pontos inicial e final.
Passo 2
Observação importante (sem resolver ainda): quando o integrando tem uma primitiva (um antiderivado) definida em todo um domínio que contém o caminho de integração, o valor da integral entre dois pontos depende apenas desses pontos — não depende do caminho. Isto é muito útil porque permite calcular a integral avaliando uma primitiva nos extremos.
Explicação breve do que é primitiva: uma função
é primitiva de
se
para todo
do domínio. Se
é inteira (ou seja, derivável em todo
), então
tem primitiva localmente e, em
inteiro (que é simplesmente conexo), existe primitiva global. No nosso caso vamos verificar que
é inteira e encontrar sua primitiva.
Passo 3
Encontrar a primitiva de
.
Usamos a regra da cadeia para derivadas: se
, então, derivando,
Portanto
é uma primitiva de
. Como
é inteira (a exponencial complexa é derivável em toda parte), essa primitiva serve em todo
.
Passo 4
Usar a primitiva para calcular a integral (independência de caminho).
Como
é primitiva de
em todo
, vale
Substituindo
, obtemos
Passo 5
Avaliar
e
usando a fórmula de Euler
.
Calculemos:
Passo 6
Substituir esses valores na expressão da integral: