Calcule:
\int_{i}^{\frac{i}{2}} e^{\pi z} d z

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o valor da integral complexa
\int_{\,i}^{\,\frac{i}{2}} e^{\pi z}\,dz.
Informações dadas:
  • O integrando é e^{\pi z}.
  • O intervalo de integração vai do ponto inicial z=i ao ponto final z=\dfrac{i}{2}.
  • Não foi especificado um caminho, apenas os pontos inicial e final.

Passo 2

Observação importante (sem resolver ainda): quando o integrando tem uma primitiva (um antiderivado) definida em todo um domínio que contém o caminho de integração, o valor da integral entre dois pontos depende apenas desses pontos — não depende do caminho. Isto é muito útil porque permite calcular a integral avaliando uma primitiva nos extremos.
Explicação breve do que é primitiva: uma função F(z) é primitiva de f(z) se F'(z)=f(z) para todo z do domínio. Se f é inteira (ou seja, derivável em todo \mathbb{C}), então f tem primitiva localmente e, em \mathbb{C} inteiro (que é simplesmente conexo), existe primitiva global. No nosso caso vamos verificar que e^{\pi z} é inteira e encontrar sua primitiva.

Passo 3

Encontrar a primitiva de e^{\pi z}.
Usamos a regra da cadeia para derivadas: se F(z)=\dfrac{1}{\pi}e^{\pi z}, então, derivando,
F'(z)=\frac{1}{\pi}\cdot \pi e^{\pi z}=e^{\pi z}.
Portanto F(z)=\dfrac{1}{\pi}e^{\pi z} é uma primitiva de e^{\pi z}. Como e^{\pi z} é inteira (a exponencial complexa é derivável em toda parte), essa primitiva serve em todo \mathbb{C}.

Passo 4

Usar a primitiva para calcular a integral (independência de caminho).
Como F é primitiva de e^{\pi z} em todo \mathbb{C}, vale
\int_{\,i}^{\,\frac{i}{2}} e^{\pi z}\,dz = F\!\left(\frac{i}{2}\right)-F(i).
Substituindo F(z)=\dfrac{1}{\pi}e^{\pi z}, obtemos
\int_{\,i}^{\,\frac{i}{2}} e^{\pi z}\,dz = \frac{1}{\pi}\bigl(e^{\pi\cdot\frac{i}{2}}-e^{\pi i}\bigr).

Passo 5

Avaliar e^{\pi\cdot\frac{i}{2}} e e^{\pi i} usando a fórmula de Euler e^{i\theta}=\cos\theta + i\sin\theta.
Calculemos:
e^{\pi i}=\cos\pi + i\sin\pi = -1 + i\cdot 0 = -1,
e^{\pi\cdot\frac{i}{2}}=\cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right) + i\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0 + i\cdot 1 = i.

Passo 6

Substituir esses valores na expressão da integral:
\int_{\,i}^{\,\frac{i}{2}} e^{\pi z}\,dz = \frac{1}{\pi}\bigl(i - (-1)\bigr) = \frac{1}{\pi}(1+i).

Resposta

\dfrac{1+i}{\pi}

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