Calcule \int_{S} f d S, onde:
f(x, y, z)=x e S é o triângulo de vértices (1,0,0),(0,1,0) e (0,0,1). Resp. \frac{\sqrt{3}}{6}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\iint_{S}f\,dS
onde f(x,y,z)=x e S é o triângulo em \mathbb{R}^3 de vértices (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1).
O conteúdo necessário é a fórmula de integral de superfície via parametrização:
\iint_{S}f\,dS \;=\;\iint_{D}f\bigl(r(u,v)\bigr)\,\bigl\|\partial_{u}r\times\partial_{v}r\bigr\|\;du\,dv.

Passo 2

Parametrizamos o triângulo por
r(u,v) \;=\;(1,0,0)+u\bigl((-1,1,0)\bigr)+v\bigl((-1,0,1)\bigr) \;=\;(1-u-v,\;u,\;v),
com domínio
D=\{(u,v)\mid u\ge0,\;v\ge0,\;u+v\le1\}.

Passo 3

Calculamos os vetores tangentes e a área elementar:
\partial_{u}r=(-1,1,0),\qquad \partial_{v}r=(-1,0,1),
\partial_{u}r\times\partial_{v}r=(1,1,1), \qquad \bigl\|\partial_{u}r\times\partial_{v}r\bigr\|=\sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt{3}.

Passo 4

Expressão de f na parametrização:
f\bigl(r(u,v)\bigr)=x=1-u-v.
Logo
\iint_{S}f\,dS =\iint_{D}(1-u-v)\,\sqrt{3}\;du\,dv =\sqrt{3}\int_{0}^{1}\!\int_{0}^{1-u}(1-u-v)\,dv\,du.

Passo 5

Calculamos a integral iterada:
\int_{0}^{1-u}(1-u-v)\,dv =\Bigl[(1-u)v-\tfrac{v^{2}}{2}\Bigr]_{0}^{1-u} =\frac{(1-u)^{2}}{2},
então
\iint_{S}f\,dS =\sqrt{3}\int_{0}^{1}\frac{(1-u)^{2}}{2}\,du =\frac{\sqrt{3}}{2}\int_{0}^{1}(1-u)^{2}\,du =\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{1}{3} =\frac{\sqrt{3}}{6}.

Resposta

\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6}

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