Calculando-se por partes a integral \int 2 x \cdot e^{-3 x} d x, obtemos
Escolha uma opção:
e^{-3 x} \cdot\left(\frac{2 x+3}{3}\right)
\frac{x^{2}}{3} \cdot e^{-3 x}+C
-e^{-3 x} \cdot \frac{2 x}{9}
x^{2} \cdot e^{-3 x}+C
-e^{-3 x} \cdot\left(\frac{6 x+2}{9}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida por partes
\int 2x\,e^{-3x}\,dx
O conteúdo da matéria aqui é o método de integração por partes, que se baseia na fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Escolhemos as partes de acordo com a regra prática de simplificar polinômios ao derivar e exponentes ao integrar:
u = 2x,\quad dv = e^{-3x}\,dx.
Então
du = 2\,dx,\quad v = \int e^{-3x}\,dx = -\frac{1}{3}\,e^{-3x}.

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes:
\int 2x\,e^{-3x}\,dx = u\,v - \int v\,du = 2x\!\left(-\frac{1}{3}e^{-3x}\right) - \int \left(-\frac{1}{3}e^{-3x}\right)\!2\,dx.

Passo 4

Agora simplificamos os termos:
2x\!\left(-\frac{1}{3}e^{-3x}\right) = -\frac{2x}{3}e^{-3x},
- \int \left(-\frac{2}{3}e^{-3x}\right)dx = +\frac{2}{3}\int e^{-3x}\,dx = +\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{3}e^{-3x}\right) = -\frac{2}{9}e^{-3x}.
Somando e adicionando a constante C, obtemos
\int 2x\,e^{-3x}\,dx = -\frac{2x}{3}e^{-3x} \;-\;\frac{2}{9}e^{-3x} + C = -e^{-3x}\,\frac{6x+2}{9} + C.

Passo 5

Comparando com as opções dadas, a que coincide com o nosso resultado é
-\,e^{-3x}\,\left(\frac{6x+2}{9}\right).

Resposta

-e^{-3x}\cdot\bigl(\tfrac{6x+2}{9}\bigr)

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