A integral indefinida
\int\left(5 \sqrt[5]{x^{2}}+\frac{1}{\sqrt{1-4 x^{2}}}\right) d x é igual a
escolha uma opção:
  • \frac{25}{7} \sqrt[5]{x^{7}}+\frac{1}{4} \operatorname{arctg}(2 x)+C
    \frac{25}{2} \sqrt[5]{x^{2}}+\frac{1}{2} \operatorname{arcsen}(2 x)+C
    \frac{25}{7} \sqrt[5]{x^{7}}+\frac{1}{4} \operatorname{arcsen}(4 x)+C
    \frac{25}{7} \sqrt[5]{x^{7}}+\frac{1}{2} \operatorname{arcsen}(2 x)+C
    35 \sqrt[5]{x^{7}}+\frac{1}{4} \operatorname{arcsen}(2 x)+C

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int\Bigl(5\sqrt[5]{x^{2}}+\frac{1}{\sqrt{1-4x^{2}}}\Bigr)\,dx.
O conteúdo que vamos usar é integração de potência e a primitiva de 1/\sqrt{1-u^{2}}, que envolve arco-seno.

Passo 2

Começamos pela parte 5\sqrt[5]{x^{2}}=5x^{2/5}. Para integrar uma potência, lembramos que
\int x^{m}\,dx=\frac{x^{m+1}}{m+1}+C,
desde que m\neq -1. Aqui m=2/5, logo
\int 5x^{2/5}\,dx =5\;\frac{x^{(2/5)+1}}{\tfrac{2}{5}+1} =5\;\frac{x^{7/5}}{\tfrac{7}{5}} =5\cdot\frac{5}{7}\,x^{7/5} =\frac{25}{7}\,x^{7/5} =\frac{25}{7}\sqrt[5]{x^{7}}.

Passo 3

Agora a parte
\int\frac{1}{\sqrt{1-4x^{2}}}\,dx.
Fazemos a substituição u=2x, então du=2\,dx ou dx=\tfrac{du}{2}. O integrando vira
\int\frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}\;\frac{du}{2} =\frac{1}{2}\int\frac{du}{\sqrt{1-u^{2}}} =\frac{1}{2}\,\operatorname{arcsen}(u)+C =\frac{1}{2}\,\operatorname{arcsen}(2x)+C.

Passo 4

Somando as duas primitivas e juntando as constantes, obtemos
\int\Bigl(5\sqrt[5]{x^{2}}+\frac{1}{\sqrt{1-4x^{2}}}\Bigr)\,dx =\frac{25}{7}\sqrt[5]{x^{7}} +\frac{1}{2}\,\operatorname{arcsen}(2x)+C.

Resposta

\frac{25}{7}\sqrt[5]{x^{7}}+\frac{1}{2}\,\operatorname{arcsen}(2x)+C

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