Calcule \int_{S} F(x) \cdot n(x) d s, onde F(x)=\frac{1}{2} x_{1}^{2} i, sendo S a superfície abaixo:
(0,5 pontos) S é o triângulo de vértices (6,0,0),(0,3,0),(0,0,2).

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos.
  • Pede-se calcular a integral de superfície \displaystyle \int_{S} F(x)\cdot n(x)\,d s.
  • O campo vetorial é \displaystyle F(x)=\tfrac{1}{2}x_{1}^{2}\,i. Ou seja, para x=(x_{1},x_{2},x_{3}), F(x)=\bigl(\tfrac{1}{2}x_{1}^{2},\,0,\,0\bigr).
  • A superfície S é o triângulo com vértices A=(6,0,0),\qquad B=(0,3,0),\qquad C=(0,0,2).
  • Precisamos calcular o fluxo de F através desse triângulo: \displaystyle \int_{S} F\cdot n\,dS, onde n é a normal unitária (ou, na prática, usamos o vetor de área orientado).

Passo 2

Escolha de parametrização do triângulo e explicação do método.
  • Uma maneira conveniente de parametrizar um triângulo é usar coordenadas barycêntricas/afins. Tomamos A como ponto base e parâmetros u,v para ir em direção a B e C: r(u,v)=A + u\,(B-A) + v\,(C-A),com domínio D=\{(u,v)\mid u\ge0,\\ v\ge0,\\ u+v\le1\}.
  • Essa parametrização cobre exatamente o triângulo: quando (u,v)=(0,0) temos A, quando (1,0) temos B, quando (0,1) temos C.
  • Fórmula para fluxo usando parametrização: se r(u,v) parametriza S, então o vetor área orientado é r_u\times r_v\,du\,dv e \int_{S} F\cdot n\,dS = \iint_{D} F\bigl(r(u,v)\bigr)\cdot\bigl(r_u\times r_v\bigr)\,du\,dv,onde r_u=\partial r/\partial u e r_v=\partial r/\partial v. Aqui usamos r_u\times r_v (vetor não unitário) porque ele já contém o fator de área.

Passo 3

Escrever explicitamente a parametrização e calcular r_u e r_v.
  • Calculemos B-A e C-A: B-A = (0-6,\;3-0,\;0-0)=(-6,3,0),
C-A = (0-6,\;0-0,\;2-0)=(-6,0,2).
  • Então a parametrização é r(u,v)=\bigl(6-6u-6v,\;3u,\;2v\bigr).
  • Derivadas parciais: r_u = \frac{\partial r}{\partial u}=(-6,\,3,\,0),
r_v = \frac{\partial r}{\partial v}=(-6,\,0,\,2).

Passo 4

Calcular o produto vetorial r_u\times r_v (vetor normal orientado e elemento de área).
  • Usamos a regra do determinante: r_u\times r_v = \begin{vmatrix} i & j & k\\[4pt] -6 & 3 & 0\\[4pt] -6 & 0 & 2 \end{vmatrix}.
  • Calculando componente a componente: \text{componente }i = 3\cdot2 - 0\cdot0 = 6,
\text{componente }j = -\bigl((-6)\cdot2 - 0\cdot(-6)\bigr) = -(-12)=12,
\text{componente }k = (-6)\cdot0 - 3\cdot(-6) = 0 +18 =18.
  • Logo r_u\times r_v = (6,\,12,\,18).
  • Observação didática rápida: esse vetor aponta numa das duas direções normais possíveis; escolher r_u\times r_v fixa a orientação. Se usássemos a ordem inversa daria o normal oposto.]

Passo 5

Avaliar F ao longo da parametrização e formar o produto escalar com r_u\times r_v.
  • A componente x_{1} ao longo de r(u,v) é x_{1}(u,v)=6-6u-6v = 6(1-u-v).
  • Então \tfrac{1}{2}x_{1}^{2} = \tfrac{1}{2}\bigl(6(1-u-v)\bigr)^{2} = \tfrac{1}{2}\cdot 36(1-u-v)^{2} = 18(1-u-v)^{2}.
  • Assim F\bigl(r(u,v)\bigr) = \bigl(18(1-u-v)^{2},\,0,\,0\bigr).
  • Agora o produto escalar com r_u\times r_v=(6,12,18) é F\bigl(r(u,v)\bigr)\cdot\bigl(r_u\times r_v\bigr) = 18(1-u-v)^{2}\cdot 6 + 0\cdot12 + 0\cdot18 = 108(1-u-v)^{2}.
  • Portanto a integral de superfície vira a integral dupla \iint_{D} 108(1-u-v)^{2}\,du\,dv,com D=\{u\ge0,\\ v\ge0,\\ u+v\le1\}.

Passo 6

Calcular a integral dupla sobre o triângulo D.
  • Escrevemos a integral iterada com u indo de 0 a 1 e v de 0 a 1-u: \int_{0}^{1}\int_{0}^{1-u} 108(1-u-v)^{2}\,dv\,du.
  • Primeiro integramos em v. Para cada u fixo, use a substituição w=1-u-v, ou note que \int_{0}^{1-u} (1-u-v)^{2}\,dv = \int_{0}^{1-u} w^{2}\,dw = \left[\frac{w^{3}}{3}\right]_{0}^{1-u} = \frac{(1-u)^{3}}{3}.
  • Então a integral total é 108\int_{0}^{1}\frac{(1-u)^{3}}{3}\,du = 36\int_{0}^{1}(1-u)^{3}\,du.
  • Calculamos \displaystyle \int_{0}^{1}(1-u)^{3}\,du. Fazendo a substituição t=1-u ou reconhecendo a integral padrão, \int_{0}^{1}(1-u)^{3}\,du = \int_{0}^{1} t^{3}\,dt = \left[\frac{t^{4}}{4}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{4}.
  • Portanto o valor da integral é 36\cdot\frac{1}{4}=9.

Resposta

9

Exercícios relacionados