Calcule \int_{S} F(x) \cdot n(x) d s, onde F(x)=\frac{1}{2} x_{1}^{2} i, sendo S a superfície abaixo:
(0,5 pontos) S é o triângulo de vértices (6,0,0),(0,3,0),(0,0,2).
Passo 1
O que o enunciado pede e quais dados temos.
Pede-se calcular a integral de superfície \displaystyle \int_{S} F(x)\cdot n(x)\,d s.
O campo vetorial é \displaystyle F(x)=\tfrac{1}{2}x_{1}^{2}\,i. Ou seja, para x=(x_{1},x_{2},x_{3}),F(x)=\bigl(\tfrac{1}{2}x_{1}^{2},\,0,\,0\bigr).
A superfície S é o triângulo com vérticesA=(6,0,0),\qquad B=(0,3,0),\qquad C=(0,0,2).
Precisamos calcular o fluxo de F através desse triângulo: \displaystyle \int_{S} F\cdot n\,dS, onde n é a normal unitária (ou, na prática, usamos o vetor de área orientado).
Passo 2
Escolha de parametrização do triângulo e explicação do método.
Uma maneira conveniente de parametrizar um triângulo é usar coordenadas barycêntricas/afins. Tomamos A como ponto base e parâmetros u,v para ir em direção a B e C:r(u,v)=A + u\,(B-A) + v\,(C-A),com domínioD=\{(u,v)\mid u\ge0,\\ v\ge0,\\ u+v\le1\}.
Essa parametrização cobre exatamente o triângulo: quando (u,v)=(0,0) temos A, quando (1,0) temos B, quando (0,1) temos C.
Fórmula para fluxo usando parametrização: se r(u,v) parametriza S, então o vetor área orientado é r_u\times r_v\,du\,dv e\int_{S} F\cdot n\,dS = \iint_{D} F\bigl(r(u,v)\bigr)\cdot\bigl(r_u\times r_v\bigr)\,du\,dv,onde r_u=\partial r/\partial u e r_v=\partial r/\partial v. Aqui usamos r_u\times r_v (vetor não unitário) porque ele já contém o fator de área.
Passo 3
Escrever explicitamente a parametrização e calcular r_u e r_v.
Calculemos B-A e C-A:B-A = (0-6,\;3-0,\;0-0)=(-6,3,0),
C-A = (0-6,\;0-0,\;2-0)=(-6,0,2).
Então a parametrização ér(u,v)=\bigl(6-6u-6v,\;3u,\;2v\bigr).
Observação didática rápida: esse vetor aponta numa das duas direções normais possíveis; escolher r_u\times r_v fixa a orientação. Se usássemos a ordem inversa daria o normal oposto.]
Passo 5
Avaliar F ao longo da parametrização e formar o produto escalar com r_u\times r_v.
A componente x_{1} ao longo de r(u,v) éx_{1}(u,v)=6-6u-6v = 6(1-u-v).
Agora o produto escalar com r_u\times r_v=(6,12,18) éF\bigl(r(u,v)\bigr)\cdot\bigl(r_u\times r_v\bigr) = 18(1-u-v)^{2}\cdot 6 + 0\cdot12 + 0\cdot18 = 108(1-u-v)^{2}.
Portanto a integral de superfície vira a integral dupla\iint_{D} 108(1-u-v)^{2}\,du\,dv,com D=\{u\ge0,\\ v\ge0,\\ u+v\le1\}.
Passo 6
Calcular a integral dupla sobre o triângulo D.
Escrevemos a integral iterada com u indo de 0 a 1 e v de 0 a 1-u:\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-u} 108(1-u-v)^{2}\,dv\,du.
Primeiro integramos em v. Para cada u fixo, use a substituição w=1-u-v, ou note que\int_{0}^{1-u} (1-u-v)^{2}\,dv = \int_{0}^{1-u} w^{2}\,dw = \left[\frac{w^{3}}{3}\right]_{0}^{1-u} = \frac{(1-u)^{3}}{3}.
Então a integral total é108\int_{0}^{1}\frac{(1-u)^{3}}{3}\,du = 36\int_{0}^{1}(1-u)^{3}\,du.
Calculamos \displaystyle \int_{0}^{1}(1-u)^{3}\,du. Fazendo a substituição t=1-u ou reconhecendo a integral padrão,\int_{0}^{1}(1-u)^{3}\,du = \int_{0}^{1} t^{3}\,dt = \left[\frac{t^{4}}{4}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{4}.
Portanto o valor da integral é36\cdot\frac{1}{4}=9.