(2,0 pontos) Calcule \int_{S} x_{1}^{2} d s, onde S é a superficie do triângulo de vértices (6,0,0),(0,3,0),(0,0,2).
Passo 1
O que o enunciado pede e quais dados temos:
Pede calcular a integral de superfície \displaystyle \int_{S} x_{1}^{2}\,d s.
A superfície S é o triângulo com vértices (6,0,0), (0,3,0) e (0,0,2).
Informações relevantes dadas: os três vértices do triângulo (fornecidos no enunciado).
O integrando é x_{1}^{2}, ou seja, o quadrado da primeira coordenada x_{1} de um ponto (x_{1},x_{2},x_{3}) sobre a superfície.
O elemento de área é d s, a área de superfície elementar do triângulo.
Passo 2
Escolha de parametrização e fórmula que vamos usar (sem ainda calcular):
Para integrar sobre uma superfície plana triangular, a forma prática é parametrizar o triângulo por coordenadas barycêntricas / afins. Escolho um vértice como ponto base A e uso dois vetores que vão de A aos outros vértices como direções de parâmetro.
Se tomarmos A=(6,0,0), B=(0,3,0) e C=(0,0,2), definimos\mathbf{r}(u,v)=A+u(B-A)+v(C-A),com o domínio de parâmetros D=\{(u,v)\mid u\ge0,\; v\ge0,\; u+v\le1\}. Esse domínio corresponde ao triângulo padrão em (u,v).
A fórmula que usaremos para integral de uma função escalar f sobre a superfície parametrizada por \mathbf{r}(u,v) é\iint_{S} f\,d s \;=\; \iint_{D} f(\mathbf{r}(u,v))\,\big\lVert \mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\big\rVert\,du\,dv,onde \mathbf{r}_u e \mathbf{r}_v são as derivadas parciais de \mathbf{r} em u e v, e \lVert\cdot\rVert é o comprimento do vetor (norma). Vou aplicar isso com f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2.
Passo 3
Montar a parametrização explicitamente e calcular \mathbf{r}(u,v):
Calculo os vetores B-A e C-A:B-A = (0,3,0)-(6,0,0)=(-6,3,0),
C-A = (0,0,2)-(6,0,0)=(-6,0,2).
A parametrização fica então\mathbf{r}(u,v)= (6,0,0) + u(-6,3,0) + v(-6,0,2).
Simplificando coordenada a coordenada:\mathbf{r}(u,v)=\big(6-6u-6v,\; 3u,\; 2v\big).Em particular a primeira coordenada (que nos interessa) éx_{1}(u,v)=6(1-u-v).
Passo 4
Calcular \mathbf{r}_u, \mathbf{r}_v e o módulo do produto vetorial:
Produto vetorial \mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v. Usando a fórmula\mathbf{a}\times\mathbf{b}=(a_2b_3-a_3b_2,\; a_3b_1-a_1b_3,\; a_1b_2-a_2b_1),com \mathbf{a}=\mathbf{r}_u e \mathbf{b}=\mathbf{r}_v, obtemos\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v =\big(3\cdot2-0\cdot0,\; 0\cdot(-6)-(-6)\cdot2,\; (-6)\cdot0-3\cdot(-6)\big).Calculando cada componente:\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v=(6,\;12,\;18).
Norma do produto vetorial:\big\lVert \mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\big\rVert =\sqrt{6^{2}+12^{2}+18^{2}}=\sqrt{36+144+324}=\sqrt{504}.Fatorando 504=36\cdot14, obtemos\big\lVert \mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\big\rVert=6\sqrt{14}.
Conclusão: d s = \big\lVert \mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\big\rVert\,du\,dv = 6\sqrt{14}\,du\,dv.
Passo 5
Expressar o integrando em função de (u,v) e montar a integral dupla:
Como x_{1}(u,v)=6(1-u-v), tem-sex_{1}^{2}(u,v)=36(1-u-v)^{2}.
Aplicando a fórmula da integral de superfície:\iint_{S} x_{1}^{2}\,d s =\iint_{D} 36(1-u-v)^{2}\cdot 6\sqrt{14}\;du\,dv =216\sqrt{14}\iint_{D} (1-u-v)^{2}\;du\,dv,onde D=\{(u,v)\mid 0\le u\le1,\; 0\le v\le 1-u\}.
Passo 6
Calcular a integral dupla no domínio D:
Primeiro integrar em v (limites 0 a 1-u):\int_{v=0}^{1-u} (1-u-v)^{2} dv.Faço a substituição direta: para u fixo, seja w=1-u-v, então dw=-dv, e quando v=0 tem w=1-u, quando v=1-u tem w=0. Assim\int_{0}^{1-u} (1-u-v)^{2} dv = \int_{w=1-u}^{0} w^{2}(-dw) = \int_{0}^{1-u} w^{2} dw = \frac{(1-u)^{3}}{3}.
Agora integrar em u de 0 a 1:\int_{u=0}^{1} \frac{(1-u)^{3}}{3}\,du = \frac{1}{3}\int_{0}^{1} (1-u)^{3} du.Fazendo t=1-u ou conhecido integral padrão,\int_{0}^{1} (1-u)^{3} du = \int_{0}^{1} t^{3} dt = \frac{1}{4}.Portanto o valor total da dupla integral é\iint_{D} (1-u-v)^{2} du\,dv = \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{12}.
Passo 7
Multiplicar pelo fator constante anterior para obter o valor final:
Lembrando que\iint_{S} x_{1}^{2}\,d s = 216\sqrt{14}\cdot \frac{1}{12},e simplificando 216/12=18, obtemos\iint_{S} x_{1}^{2}\,d s = 18\sqrt{14}.