(2,5 pontos) Calcule \int_{D} \frac{x_{2}^{2}}{x_{1}^{2}} d x_{1} d x_{2}, onde D é a região delimitada pelas retas x_{2}=2 x_{1}, x_{2}=2 e a hipérbole x_{1} x_{2}=1

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, para não nos perdermos no caminho.
  • O enunciado pede o valor da integral
\iint_{D} \frac{x_{2}^{2}}{x_{1}^{2}}\,dx_{1}\,dx_{2},
onde D é a região do plano limitada por três curvas:
  • a reta \;x_{2}=2x_{1}\;,
  • a reta horizontal \;x_{2}=2\;,
  • a hipérbole \;x_{1}x_{2}=1\;.
  • Informações relevantes extraídas do enunciado:
    • As três curvas se intersectam formando uma região fechada em primeiro quadrante (elas envolvem pontos com x_{1}>0, x_{2}>0).
    • Precisaremos localizar os pontos de interseção para entender a forma da região D.
    • A integranda \dfrac{x_{2}^{2}}{x_{1}^{2}} sugere que uma substituição envolvendo \dfrac{x_{2}}{x_{1}} pode simplificar a expressão.

Passo 2

Vamos achar os pontos de interseção entre as curvas, isso ajuda a visualizar e parametrizar a região D.
  • Interseção entre x_{2}=2 e x_{1}x_{2}=1. Substituindo x_{2}=2 em x_{1}x_{2}=1
x_{1}\cdot 2 = 1 \quad\Rightarrow\quad x_{1}=\tfrac{1}{2}.
Portanto o ponto de interseção é \big(\tfrac{1}{2},\,2\big).
  • Interseção entre x_{2}=2 e x_{2}=2x_{1}. Igualando 2=2x_{1} obtemos
x_{1}=1,
portanto o ponto de interseção é (1,\,2).
  • Interseção entre x_{2}=2x_{1} e x_{1}x_{2}=1. Substituindo x_{2}=2x_{1} em x_{1}x_{2}=1
x_{1}\cdot(2x_{1})=1 \quad\Rightarrow\quad 2x_{1}^{2}=1 \quad\Rightarrow\quad x_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}.
Então x_{2}=2x_{1}=\dfrac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}. O ponto é \big(\tfrac{1}{\sqrt{2}},\,\sqrt{2}\big).
Resumo dos vértices da região D (em ordem): \big(\tfrac{1}{2},2\big), (1,2), \big(\tfrac{1}{\sqrt{2}},\sqrt{2}\big).

Passo 3

Escolha do método: pela forma das curvas é natural usar a mudança de variáveis que separa o produto x_{1}x_{2} e a razão x_{2}/x_{1}. Assim definimos
u = x_{1}x_{2},\qquad v = \frac{x_{2}}{x_{1}}.
Motivação didática rápida: a hipérbole vira u= constante, a reta por origem x_{2}=2x_{1} vira v=2, e a reta horizontal x_{2}=2 transforma-se numa relação simples entre u e v. Essa escolha tipicamente simplifica tanto a integranda quanto a região.

Passo 4

Inverter a transformação e expressar x_{1},x_{2} em função de u,v. Assumimos x_{1}>0 (região está no 1.º quadrante), então
x_{2} = v x_{1},\qquad u = x_{1}x_{2}=x_{1}(v x_{1})=v x_{1}^{2}.
Daí
x_{1} = \sqrt{\frac{u}{v}},\qquad x_{2} = \sqrt{u v}.

Passo 5

Calcular o jacobiano \dfrac{\partial(x_{1},x_{2})}{\partial(u,v)}. Vamos derivar com cuidado.
Escrevemos
x_{1}=u^{1/2}v^{-1/2},\qquad x_{2}=u^{1/2}v^{1/2}.
As derivadas parciais são
\frac{\partial x_{1}}{\partial u}=\frac{1}{2}u^{-1/2}v^{-1/2},\qquad \frac{\partial x_{1}}{\partial v}=-\frac{1}{2}u^{1/2}v^{-3/2},
\frac{\partial x_{2}}{\partial u}=\frac{1}{2}u^{-1/2}v^{1/2},\qquad \frac{\partial x_{2}}{\partial v}=\frac{1}{2}u^{1/2}v^{-1/2}.
O determinante é
\det \begin{pmatrix} \partial x_{1}/\partial u & \partial x_{1}/\partial v\\[4pt] \partial x_{2}/\partial u & \partial x_{2}/\partial v \end{pmatrix} = \frac{1}{2v}.
Portanto a diferencial de área transforma como
dx_{1}\,dx_{2}=\frac{1}{2v}\,du\,dv.]

Passo 6

Transformar a integranda e descrever a região na nova coordenada.
  • A integranda \dfrac{x_{2}^{2}}{x_{1}^{2}} em termos de v fica simplesmente
\frac{x_{2}^{2}}{x_{1}^{2}}=\left(\frac{x_{2}}{x_{1}}\right)^{2}=v^{2}.
  • Assim o integrando com o jacobiano passa a ser
\frac{x_{2}^{2}}{x_{1}^{2}}\,dx_{1}\,dx_{2}=v^{2}\cdot\frac{1}{2v}\,du\,dv=\frac{v}{2}\,du\,dv.
  • Agora as fronteiras em (u,v):
    • A hipérbole x_{1}x_{2}=1 vira u=1.
    • A reta x_{2}=2x_{1} vira v=2.
    • A reta x_{2}=2: como u=x_{1}x_{2} e x_{2}=2 temos u=2x_{1} e também v=x_{2}/x_{1}=2/x_{1}. Eliminando x_{1} obtemos u v = 4. Logo essa curva é dada por u v = 4 (ou u = 4/v).
  • Determinação dos limites: olhando as interseções encontradas no passo 2 (convertidas a (u,v)):
    • ponto \big(\tfrac{1}{\sqrt{2}},\sqrt{2}\big) corresponde a (u,v)=(1,2),
    • ponto (1,2) corresponde a (u,v)=(2,2),
    • ponto \big(\tfrac{1}{2},2\big) corresponde a (u,v)=(1,4).
Da geometria fica claro que v varia de 2 até 4, e para cada v fixo o u varia de u=1 (hipérbole) até u=4/v (reta x_{2}=2). Portanto a região transformada é
\{(u,v):\\\ 2\le v\le 4,\\ \\\ 1\le u\le 4/v\}.

Passo 7

Montar e calcular a integral em (u,v):
\iint_{D}\frac{x_{2}^{2}}{x_{1}^{2}}\,dx_{1}\,dx_{2} =\iint_{R}\frac{v}{2}\,du\,dv =\frac{1}{2}\int_{v=2}^{4}\!\int_{u=1}^{4/v} v\,du\,dv.
Efetuando a integral interna em u:
\frac{1}{2}\int_{2}^{4} v\left(\frac{4}{v}-1\right)\,dv =\frac{1}{2}\int_{2}^{4} (4-v)\,dv.
Calcule a integral:
\int_{2}^{4}(4-v)\,dv=\Big[4v-\frac{v^{2}}{2}\Big]_{2}^{4} =\big(16-8\big)-\big(8-2\big)=8-6=2.
Multiplicando por \tfrac{1}{2} obtemos 1.

Resposta

1

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