(2,5 pontos) Calcule
, onde
é a região delimitada pelas retas
,
e a hipérbole
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, para não nos perdermos no caminho.
- O enunciado pede o valor da integral
onde
é a região do plano limitada por três curvas:
-
a reta
, -
a reta horizontal
, -
a hipérbole
. -
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- As três curvas se intersectam formando uma região fechada em primeiro quadrante (elas envolvem pontos com
, ). - Precisaremos localizar os pontos de interseção para entender a forma da região
. - A integranda
sugere que uma substituição envolvendo pode simplificar a expressão.
- As três curvas se intersectam formando uma região fechada em primeiro quadrante (elas envolvem pontos com
Passo 2
Vamos achar os pontos de interseção entre as curvas, isso ajuda a visualizar e parametrizar a região
.
- Interseção entre
e . Substituindo em dá
Portanto o ponto de interseção é
.
- Interseção entre
e . Igualando obtemos
portanto o ponto de interseção é
.
- Interseção entre
e . Substituindo em dá
Então
. O ponto é
.
Resumo dos vértices da região
(em ordem):
,
,
.
Passo 3
Escolha do método: pela forma das curvas é natural usar a mudança de variáveis que separa o produto
e a razão
. Assim definimos
Motivação didática rápida: a hipérbole vira
constante, a reta por origem
vira
, e a reta horizontal
transforma-se numa relação simples entre
e
. Essa escolha tipicamente simplifica tanto a integranda quanto a região.
Passo 4
Inverter a transformação e expressar
em função de
. Assumimos
(região está no 1.º quadrante), então
Daí
Passo 5
Calcular o jacobiano
. Vamos derivar com cuidado.
Escrevemos
As derivadas parciais são
O determinante é
Portanto a diferencial de área transforma como
Passo 6
Transformar a integranda e descrever a região na nova coordenada.
- A integranda
em termos de fica simplesmente
- Assim o integrando com o jacobiano passa a ser
-
Agora as fronteiras em
: - A hipérbole
vira . - A reta
vira . - A reta
: como e temos e também . Eliminando obtemos . Logo essa curva é dada por (ou ).
- A hipérbole
-
Determinação dos limites: olhando as interseções encontradas no passo 2 (convertidas a
): - ponto
corresponde a , - ponto
corresponde a , - ponto
corresponde a .
- ponto
Da geometria fica claro que
varia de
até
, e para cada
fixo o
varia de
(hipérbole) até
(reta
). Portanto a região transformada é
Passo 7
Montar e calcular a integral em
:
Efetuando a integral interna em
:
Calcule a integral:
Multiplicando por
obtemos
.
Resposta
1