Calcule \int_{-3}^{4} f(x) d x, sendo
f(x)=\left\{\begin{array}{lr} 1 & \text { se } x \leq-1 \\\\ 3 x^{2} & \text { se }|x|<1 \\\\ 2 x & \text { se } x \geq 1 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida \displaystyle \int_{-3}^{4} f(x)\,dx\), onde \(f\) é a função definida por partes: \[f(x)=\begin{cases} 1 & \text{se } x \leq -1,\\[4pt] 3x^{2} & \text{se } |x|<1,\\[4pt] 2x & \text{se } x \geq 1. \end{cases}
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • O domínio de integração é o intervalo [-3,4]\]. - A função muda de expressão em \(x=-1 e x=1.
    - Em particular, f(-1)=1 (pela primeira parte) e f(1)=2 (pela terceira parte).
    O que se pede: o valor numérico de \displaystyle \int_{-3}^{4} f(x)\,dx.]

Passo 2

Plano de resolução (sem calcular ainda): como f é dada por partes e muda em x=-1 e x=1, vamos decompor a integral nos subintervalos onde f tem expressão única:
\int_{-3}^{4} f(x)\,dx = \int_{-3}^{-1} f(x)\,dx + \int_{-1}^{1} f(x)\,dx + \int_{1}^{4} f(x)\,dx.
Em cada subintervalo substituiremos f pela expressão correspondente e calcularemos a primitiva (antiderivada) apropriada.

Passo 3

Observação sobre pontos de mudança: x=-1 e x=1 são pontos isolados; o valor da função nesses pontos não altera o valor da integral definida porque um ponto tem medida zero. Assim podemos integrar em [-1,1] usando 3x^{2} mesmo que a definição seja |x|<1 para esse trecho.

Passo 4

Cálculo do primeiro termo: \displaystyle \int_{-3}^{-1} f(x)\,dx com f(x)=1 em este intervalo.
A primitiva de 1 é x (pois \dfrac{d}{dx}x=1). Portanto
\int_{-3}^{-1} 1\,dx = \bigl[x\bigr]_{-3}^{-1} = (-1)-(-3)=2.

Passo 5

Cálculo do segundo termo: \displaystyle \int_{-1}^{1} f(x)\,dx com f(x)=3x^{2} nesse intervalo.
Regra usada: para x^{n} com n\neq -1, \displaystyle \int x^{n}\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C. Aqui n=2, então uma primitiva de 3x^{2} é 3\cdot \dfrac{x^{3}}{3}=x^{3}. Assim
\int_{-1}^{1} 3x^{2}\,dx = \bigl[x^{3}\bigr]_{-1}^{1} = 1^{3}-(-1)^{3}=1-(-1)=2.

Passo 6

Cálculo do terceiro termo: \displaystyle \int_{1}^{4} f(x)\,dx com f(x)=2x nesse intervalo.
Primitiva de 2x é x^{2} (pois \dfrac{d}{dx}x^{2}=2x). Então
\int_{1}^{4} 2x\,dx = \bigl[x^{2}\bigr]_{1}^{4} = 4^{2}-1^{2}=16-1=15.

Passo 7

Somando os três resultados:
\int_{-3}^{4} f(x)\,dx = 2 + 2 + 15 = 19.

Resposta

\,19\,

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