f(x)=\left\{\begin{array}{lr} 1 & \text { se } x \leq-1 \\\\ 3 x^{2} & \text { se }|x|<1 \\\\ 2 x & \text { se } x \geq 1 \end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral definida \displaystyle \int_{-3}^{4} f(x)\,dx\), onde \(f\) é a função definida por partes:
\[f(x)=\begin{cases} 1 & \text{se } x \leq -1,\\[4pt] 3x^{2} & \text{se } |x|<1,\\[4pt] 2x & \text{se } x \geq 1. \end{cases}
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
O domínio de integração é o intervalo [-3,4]\].
- A função muda de expressão em \(x=-1 e x=1.
- Em particular, f(-1)=1 (pela primeira parte) e f(1)=2 (pela terceira parte).
O que se pede: o valor numérico de \displaystyle \int_{-3}^{4} f(x)\,dx.]
Passo 2
Plano de resolução (sem calcular ainda): como f é dada por partes e muda em x=-1 e x=1, vamos decompor a integral nos subintervalos onde f tem expressão única:
Em cada subintervalo substituiremos f pela expressão correspondente e calcularemos a primitiva (antiderivada) apropriada.
Passo 3
Observação sobre pontos de mudança: x=-1 e x=1 são pontos isolados; o valor da função nesses pontos não altera o valor da integral definida porque um ponto tem medida zero. Assim podemos integrar em [-1,1] usando 3x^{2} mesmo que a definição seja |x|<1 para esse trecho.
Passo 4
Cálculo do primeiro termo: \displaystyle \int_{-3}^{-1} f(x)\,dx com f(x)=1 em este intervalo.
A primitiva de 1 é x (pois \dfrac{d}{dx}x=1). Portanto
Cálculo do segundo termo: \displaystyle \int_{-1}^{1} f(x)\,dx com f(x)=3x^{2} nesse intervalo.
Regra usada: para x^{n} com n\neq -1, \displaystyle \int x^{n}\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C. Aqui n=2, então uma primitiva de 3x^{2} é 3\cdot \dfrac{x^{3}}{3}=x^{3}. Assim
Cálculo do terceiro termo: \displaystyle \int_{1}^{4} f(x)\,dx com f(x)=2x nesse intervalo.
Primitiva de 2x é x^{2} (pois \dfrac{d}{dx}x^{2}=2x). Então