Reescreva cada frase abaixo na forma ‘. se, e somente se…’.
Um triângulo ter seus lados medindo 3, 4 e 5 é equivalente a esse triângulo ser o triângulo retângulo, de lados inteiros, com menor perímetro.
Um triângulo ter seus lados medindo 3, 4 e 5 é equivalente a esse triângulo ser o triângulo retângulo, de lados inteiros, com menor perímetro.
Passo 1
O enunciado dá uma frase em linguagem natural e pede para reescrevê-la na forma “se, e somente se”. A frase é: “Um triângulo ter seus lados medindo
,
e
é equivalente a esse triângulo ser o triângulo retângulo, de lados inteiros, com menor perímetro.”
O que é pedido: transformar essa equivalência em uma única frase do tipo “P se, e somente se, Q” (ou seja, escrever explicitamente a bicondicional).
O que é pedido: transformar essa equivalência em uma única frase do tipo “P se, e somente se, Q” (ou seja, escrever explicitamente a bicondicional).
Passo 2
O que significa “se, e somente se” (bicondicional)? Vou explicar devagar.
- Se tivermos duas proposições
e , escrever " se, e somente se, " significa exatamente duas coisas juntas: "se então " e "se então ". - Em símbolos lógicos: "
se, e somente se, " é equivalente a " e ".
Isso é importante porque para reescrever a frase devemos identificar claramentee e montar a bicondicional.
Passo 3
Identificar
e
na frase original. Uma escolha natural é:
-
: "o triângulo tem lados medindo , e "; -
: “o triângulo é retângulo, de lados inteiros, com menor perímetro (entre triângulos retângulos de lados inteiros)”.
Agora quero montar a frase "se, e somente se, ". Mas antes de escrever a versão final, é bom entender por que essa bicondicional faz sentido (ou seja, por que as duas implicações são verdadeiras), assim você aprende a matéria e não só copia a forma.
Passo 4
Mostrar que
(ou seja, se os lados são
,
e
, então o triângulo satisfaz
).
- Se um triângulo tem lados
, e , então esses números são inteiros e verificam a relação de Pitágoras:
portanto o triângulo é retângulo e tem lados inteiros.
- Resta ver que esse triângulo tem o menor perímetro entre os triângulos retângulos com lados inteiros. O perímetro do
- - é . Agora argumento que nenhum triângulo retângulo com lados inteiros pode ter perímetro menor que :
Prova curta da minimalidade (passo-a-passo didático): suponha que exista um triângulo retângulo com lados inteiros positivos
com
.
- Se
, então
Mas
e
são inteiros positivos cujo produto é
, logo ambos seriam
; isso forçaria
, impossível. Portanto
.
2) Se , então
2) Se
Os pares inteiros positivos que multiplicam
são
e
. O par
dá
não inteiro; o par
dá
, impossível. Portanto
.
3) Assim . Tomando o menor caso possível
, resolvemos
3) Assim
Os fatores positivos de
são
e
. O par
fornece
e
, que é a solução inteira válida
. O par
daria
, impossível. Portanto, o menor caso inteiro possível é
, com perímetro
. Como qualquer outro triângulo inteiro retângulo tem
e
ou
, seu perímetro é
, com igualdade só em
. Isso mostra que o triângulo
-
-
tem o menor perímetro entre triângulos retângulos de lados inteiros.
Logo é verdadeiro.
Logo
Passo 5
Mostrar que
(ou seja, se o triângulo é retângulo, de lados inteiros, e tem o menor perímetro, então seus lados são
,
e
).
- A prova da direção anterior já mostrou que nenhum triângulo retângulo inteiro pode ter menor perímetro que
e que a única possibilidade de atingir perímetro é o triplo . Portanto, se temos um triângulo retângulo de lados inteiros com o menor perímetro, ele necessariamente atinge e assim seus lados são , e . Logo também vale.
Passo 6
Como as duas implicações
e
são verdadeiras, concluímos que
é equivalente a
. Agora escrevo a frase final exatamente na forma pedida “se, e somente se”.
Resposta
Um triângulo ter seus lados medindo
,
e
se, e somente se, esse triângulo for o triângulo retângulo, de lados inteiros, com menor perímetro.