Reescreva cada frase abaixo na forma ‘. se, e somente se…’.
Um triângulo ter seus lados medindo 3, 4 e 5 é equivalente a esse triângulo ser o triângulo retângulo, de lados inteiros, com menor perímetro.

Passo 1

O enunciado dá uma frase em linguagem natural e pede para reescrevê-la na forma “se, e somente se”. A frase é: “Um triângulo ter seus lados medindo ...\!3, ...\!4 e ...\!5 é equivalente a esse triângulo ser o triângulo retângulo, de lados inteiros, com menor perímetro.”
O que é pedido: transformar essa equivalência em uma única frase do tipo “P se, e somente se, Q” (ou seja, escrever explicitamente a bicondicional).

Passo 2

O que significa “se, e somente se” (bicondicional)? Vou explicar devagar.
  • Se tivermos duas proposições P e Q, escrever " P se, e somente se, Q " significa exatamente duas coisas juntas: "se P então Q" e "se Q então P".
  • Em símbolos lógicos: " P se, e somente se, Q" é equivalente a " (P\Rightarrow Q) e (Q\Rightarrow P)".
    Isso é importante porque para reescrever a frase devemos identificar claramente P e Q e montar a bicondicional.

Passo 3

Identificar P e Q na frase original. Uma escolha natural é:
  • P: "o triângulo tem lados medindo ...\!3, ...\!4 e ...\!5";
  • Q: “o triângulo é retângulo, de lados inteiros, com menor perímetro (entre triângulos retângulos de lados inteiros)”.
    Agora quero montar a frase " P se, e somente se, Q". Mas antes de escrever a versão final, é bom entender por que essa bicondicional faz sentido (ou seja, por que as duas implicações são verdadeiras), assim você aprende a matéria e não só copia a forma.

Passo 4

Mostrar que P\Rightarrow Q (ou seja, se os lados são ...\!3, ...\!4 e ...\!5, então o triângulo satisfaz Q).
  • Se um triângulo tem lados ...\!3, ...\!4 e ...\!5, então esses números são inteiros e verificam a relação de Pitágoras:
3^{2}+4^{2}=9+16=25=5^{2},
portanto o triângulo é retângulo e tem lados inteiros.
  • Resta ver que esse triângulo tem o menor perímetro entre os triângulos retângulos com lados inteiros. O perímetro do ...\!3- ...\!4- ...\!5 é 3+4+5=12. Agora argumento que nenhum triângulo retângulo com lados inteiros pode ter perímetro menor que 12:
Prova curta da minimalidade (passo-a-passo didático): suponha que exista um triângulo retângulo com lados inteiros positivos (a,b,c) com a\le b<c.
  1. Se a=1, então
1^{2}+b^{2}=c^{2}\quad\Rightarrow\quad c^{2}-b^{2}=1\quad\Rightarrow\quad (c-b)(c+b)=1.
Mas (c-b) e (c+b) são inteiros positivos cujo produto é 1, logo ambos seriam 1; isso forçaria b=0, impossível. Portanto a\neq1.
2) Se a=2, então
2^{2}+b^{2}=c^{2}\quad\Rightarrow\quad c^{2}-b^{2}=4\quad\Rightarrow\quad (c-b)(c+b)=4.
Os pares inteiros positivos que multiplicam 4 são (1,4) e (2,2). O par (1,4) c=(1+4)/2=2,5 não inteiro; o par (2,2) b=0, impossível. Portanto a\neq2.
3) Assim a\ge3. Tomando o menor caso possível a=3, resolvemos
3^{2}+b^{2}=c^{2}\quad\Rightarrow\quad (c-b)(c+b)=9.
Os fatores positivos de 9 são (1,9) e (3,3). O par (1,9) fornece c=(1+9)/2=5 e b=(9-1)/2=4, que é a solução inteira válida (3,4,5). O par (3,3) daria b=0, impossível. Portanto, o menor caso inteiro possível é (3,4,5), com perímetro 12. Como qualquer outro triângulo inteiro retângulo tem a\ge3 e b\ge4 ou a>3, seu perímetro é \ge12, com igualdade só em (3,4,5). Isso mostra que o triângulo ...\!3- ...\!4- ...\!5 tem o menor perímetro entre triângulos retângulos de lados inteiros.
Logo P\Rightarrow Q é verdadeiro.

Passo 5

Mostrar que Q\Rightarrow P (ou seja, se o triângulo é retângulo, de lados inteiros, e tem o menor perímetro, então seus lados são ...\!3, ...\!4 e ...\!5).
  • A prova da direção anterior já mostrou que nenhum triângulo retângulo inteiro pode ter menor perímetro que 12 e que a única possibilidade de atingir perímetro 12 é o triplo (3,4,5). Portanto, se temos um triângulo retângulo de lados inteiros com o menor perímetro, ele necessariamente atinge 12 e assim seus lados são ...\!3, ...\!4 e ...\!5. Logo Q\Rightarrow P também vale.

Passo 6

Como as duas implicações P\Rightarrow Q e Q\Rightarrow P são verdadeiras, concluímos que P é equivalente a Q. Agora escrevo a frase final exatamente na forma pedida “se, e somente se”.

Resposta

Um triângulo ter seus lados medindo ...\!3, ...\!4 e ...\!5 se, e somente se, esse triângulo for o triângulo retângulo, de lados inteiros, com menor perímetro.

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