Qual das definições abaixo não é equivalente às demais:
Um retângulo é…
(a) … um quadrilátero com quatro ângulos internos retos.
(b) … um paralelogramo com pelo menos um ângulo interno reto.
(c) … um quadrilátero com a média aritmética dos ângulos internos valendo um ângulo reto.
(d) … um quadrilátero com quatro ângulos internos congruentes.

Passo 1

O enunciado pergunta: “Qual das definições abaixo não é equivalente às demais?” e dá quatro alternativas:
(a) Um retângulo é um quadrilátero com quatro ângulos internos retos.
(b) Um retângulo é um paralelogramo com pelo menos um ângulo interno reto.
(c) Um retângulo é um quadrilátero com a média aritmética dos ângulos internos valendo um ângulo reto.
(d) Um retângulo é um quadrilátero com quatro ângulos internos congruentes.
O que se pede: identificar qual dessas definições NÃO caracteriza exatamente a mesma classe de quadriláteros que as outras (ou seja, qual delas não é uma definição equivalente das demais).

Passo 2

Mostrar que (a) é a definição direta de retângulo: se um quadrilátero tem quatro ângulos internos retos, então é, por definição, um retângulo. Não há ambiguidade aqui; esta é a definição usual e serve como referência para comparar as outras.

Passo 3

Analisar (b): “paralelogramo com pelo menos um ângulo interno reto”. Lembrando uma propriedade básica de paralelogramos: em todo paralelogramo os ângulos opostos são congruentes e dois ângulos consecutivos são suplementares (isto é, somam 180^\circ). Agora suponha que num paralelogramo um ângulo é reto, isto é, vale 90^\circ. Então o ângulo adjacente, por ser suplementar, também vale 180^\circ-90^\circ=90^\circ. Como ângulos opostos são congruentes, os outros dois também valem 90^\circ. Logo, um paralelogramo com pelo menos um ângulo reto tem os quatro ângulos retos, portanto é um retângulo no sentido de (a). Conclusão: (b) implica (a), portanto (b) é equivalente a (a).

Passo 4

Analisar (d): “quadrilátero com quatro ângulos internos congruentes”. Se os quatro ângulos são congruentes, então cada um vale a mesma medida. Como a soma dos quatro ângulos internos de qualquer quadrilátero é 360^\circ, cada ângulo vale \dfrac{360^\circ}{4}=90^\circ. Assim (d) implica (a). Logo (d) também é equivalente a (a).

Passo 5

Analisar (c): “quadrilátero com a média aritmética dos ângulos internos valendo um ângulo reto”. A média aritmética dos quatro ângulos internos é
\frac{\text{soma dos quatro ângulos}}{4}.â
Mas para qualquer quadrilátero a soma dos ângulos internos é sempre 360^\circ. Uma justificativa simples: traça-se uma diagonal que divide o quadrilátero em duas triângulos; a soma dos ângulos internos de dois triângulos é 180^\circ+180^\circ=360^\circ. Portanto a média aritmética é
\frac{360^\circ}{4}=90^\circ.
Isto significa que toda e qualquer quadrilátero (independentemente de ser retângulo ou não) satisfaz a condição de (c). Logo (c) não é uma condição exclusiva dos retângulos — é satisfeita por todos os quadriláteros. Para deixar ainda mais explícito, um contraexemplo numérico: um quadrilátero com ângulos 60^\circ,\;100^\circ,\;80^\circ,\;120^\circ tem soma 60^\circ+100^\circ+80^\circ+120^\circ=360^\circ e média \dfrac{360^\circ}{4}=90^\circ, mas claramente não é um retângulo porque nenhum (ou nem todos) dos ângulos são 90^\circ.

Passo 6

Conclusão lógica: (a), (b) e (d) são equivalentes entre si (todas caracterizam exatamente os retângulos). A alternativa (c) é satisfeita por qualquer quadrilátero e, portanto, não descreve apenas os retângulos — não é equivalente às demais.

Resposta

(c)

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