Qual das definições abaixo não é equivalente às demais:
Um retângulo é…
(a) … um quadrilátero com quatro ângulos internos retos.
(b) … um paralelogramo com pelo menos um ângulo interno reto.
(c) … um quadrilátero com a média aritmética dos ângulos internos valendo um ângulo reto.
(d) … um quadrilátero com quatro ângulos internos congruentes.
(a) … um quadrilátero com quatro ângulos internos retos.
(b) … um paralelogramo com pelo menos um ângulo interno reto.
(c) … um quadrilátero com a média aritmética dos ângulos internos valendo um ângulo reto.
(d) … um quadrilátero com quatro ângulos internos congruentes.
Passo 1
O enunciado pergunta: “Qual das definições abaixo não é equivalente às demais?” e dá quatro alternativas:
(a) Um retângulo é um quadrilátero com quatro ângulos internos retos.
(b) Um retângulo é um paralelogramo com pelo menos um ângulo interno reto.
(c) Um retângulo é um quadrilátero com a média aritmética dos ângulos internos valendo um ângulo reto.
(d) Um retângulo é um quadrilátero com quatro ângulos internos congruentes.
(b) Um retângulo é um paralelogramo com pelo menos um ângulo interno reto.
(c) Um retângulo é um quadrilátero com a média aritmética dos ângulos internos valendo um ângulo reto.
(d) Um retângulo é um quadrilátero com quatro ângulos internos congruentes.
O que se pede: identificar qual dessas definições NÃO caracteriza exatamente a mesma classe de quadriláteros que as outras (ou seja, qual delas não é uma definição equivalente das demais).
Passo 2
Mostrar que (a) é a definição direta de retângulo: se um quadrilátero tem quatro ângulos internos retos, então é, por definição, um retângulo. Não há ambiguidade aqui; esta é a definição usual e serve como referência para comparar as outras.
Passo 3
Analisar (b): “paralelogramo com pelo menos um ângulo interno reto”. Lembrando uma propriedade básica de paralelogramos: em todo paralelogramo os ângulos opostos são congruentes e dois ângulos consecutivos são suplementares (isto é, somam
). Agora suponha que num paralelogramo um ângulo é reto, isto é, vale
. Então o ângulo adjacente, por ser suplementar, também vale
. Como ângulos opostos são congruentes, os outros dois também valem
. Logo, um paralelogramo com pelo menos um ângulo reto tem os quatro ângulos retos, portanto é um retângulo no sentido de (a). Conclusão: (b) implica (a), portanto (b) é equivalente a (a).
Passo 4
Analisar (d): “quadrilátero com quatro ângulos internos congruentes”. Se os quatro ângulos são congruentes, então cada um vale a mesma medida. Como a soma dos quatro ângulos internos de qualquer quadrilátero é
, cada ângulo vale
. Assim (d) implica (a). Logo (d) também é equivalente a (a).
Passo 5
Analisar (c): “quadrilátero com a média aritmética dos ângulos internos valendo um ângulo reto”. A média aritmética dos quatro ângulos internos é
Mas para qualquer quadrilátero a soma dos ângulos internos é sempre
. Uma justificativa simples: traça-se uma diagonal que divide o quadrilátero em duas triângulos; a soma dos ângulos internos de dois triângulos é
. Portanto a média aritmética é
Isto significa que toda e qualquer quadrilátero (independentemente de ser retângulo ou não) satisfaz a condição de (c). Logo (c) não é uma condição exclusiva dos retângulos — é satisfeita por todos os quadriláteros. Para deixar ainda mais explícito, um contraexemplo numérico: um quadrilátero com ângulos
tem soma
e média
, mas claramente não é um retângulo porque nenhum (ou nem todos) dos ângulos são
.
Passo 6
Conclusão lógica: (a), (b) e (d) são equivalentes entre si (todas caracterizam exatamente os retângulos). A alternativa (c) é satisfeita por qualquer quadrilátero e, portanto, não descreve apenas os retângulos — não é equivalente às demais.
Resposta
(c)