Calcule.
\int(\sin x+\cos x)^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida \displaystyle \int(\sin x+\cos x)^{2}dx,
usando identidades trigonométricas e integração termo a termo.

Passo 2

Expandimos o quadrado:
(\sin x+\cos x)^{2}=\sin^{2}x+\cos^{2}x+2\sin x\cos x

Passo 3

Aplicamos as identidades \sin^{2}x+\cos^{2}x=1 e 2\sin x\cos x=\sin2x:
(\sin x+\cos x)^{2}=1+\sin2x

Passo 4

Integramos termo a termo:
\int(\sin x+\cos x)^{2}dx=\int(1+\sin2x)dx=x-\frac{1}{2}\cos2x+C

Resposta

x-\frac{1}{2}\cos2x+C

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