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onde R é a região entre os círculos x^{2}+y^{2}=1 e x^{2}+y^{2}=4, no semiplano superior.
16. Determine o volume limitado pelo plano z=0 e pelo paraboloide z=1-x^{2}-y^{2}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o volume limitado pelo plano z=0 e pelo paraboloide z=1-x^{2}-y^{2}.\n
Informações dadas relevantes:
  • A superfície superior é o paraboloide z=1-x^{2}-y^{2}.
  • A superfície inferior é o plano z=0.
  • O volume procurado é a região onde o paraboloide fica acima do plano, ou seja, onde 1-x^{2}-y^{2}\ge 0.

Passo 2

Vamos traduzir a ideia de volume para uma integral dupla. Em problemas assim, o volume entre o plano z=0 e uma superfície z=f(x,y) sobre uma região D no plano xy é dado por
\text{Volume}=\iint_{D} f(x,y)\,dA.
Aqui f(x,y)=1-x^{2}-y^{2}. A região D é o conjunto de pontos (x,y) tais que f(x,y)\ge 0.

Passo 3

Determine a região D resolvendo 1-x^{2}-y^{2}\ge 0. Isso dá
x^{2}+y^{2}\le 1.
Logo D é o disco centrado na origem de raio 1.

Passo 4

Escolhemos coordenadas polares porque D é um disco — coordenadas polares deixam os cálculos muito mais simples. Lembre-se da mudança:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
e o elemento de área é
dA = r\,dr\,d\theta.
Breve explicação do r no dA: um pequeno retângulo em coordenadas polares tem lados aproximadamente dr e r\,d\theta, então sua área é r\,dr\,d\theta. Por isso aparece esse fator (o “Jacobian”).

Passo 5

Expressamos f(x,y) em polares:
f(x,y)=1-x^{2}-y^{2}=1-r^{2}.
Os limites para r e \theta cobrem o disco de raio 1: r varia de 0 a 1 e \theta varia de 0 a 2\pi. Portanto o volume vira
\text{Volume}=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} (1-r^{2})\,r\,dr\,d\theta.

Passo 6

Simplificamos o integrando multiplicando r:
(1-r^{2})r = r - r^{3}.
Então
\text{Volume}=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} (r - r^{3})\,dr\,d\theta.

Passo 7

Calcule a integral interna em r. Primeiro encontramos a antiderivada de r - r^{3}:
\int (r - r^{3})\,dr = \frac{1}{2}r^{2} - \frac{1}{4}r^{4} + C.
Agora avaliamos entre r=0 e r=1:
\left[\frac{1}{2}r^{2} - \frac{1}{4}r^{4}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2}\cdot 1^{2} - \frac{1}{4}\cdot 1^{4} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}.

Passo 8

Agora integramos em \theta:
\text{Volume}=\int_{0}^{2\pi} \frac{1}{4}\,d\theta = \frac{1}{4}\left[\theta\right]_{0}^{2\pi} = \frac{1}{4}\cdot 2\pi = \frac{\pi}{2}.

Passo 9

Interpretação rápida para conferir: o resultado é positivo e tem dimensão de volume. Faz sentido que o volume seja finito (o paraboloide corta o plano formando um disco de raio 1) e o valor \pi/2 é coerente com a forma do sólido (um “chapéu” parabólico com altura 1 e base área \pi).

Resposta

\dfrac{\pi}{2}

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