]
onde
é a região entre os círculos
e
, no semiplano superior.
16. Determine o volume limitado pelo plano
e pelo paraboloide
.
16. Determine o volume limitado pelo plano
Passo 1
O enunciado pede: determinar o volume limitado pelo plano
e pelo paraboloide
.\n
Informações dadas relevantes:
Informações dadas relevantes:
- A superfície superior é o paraboloide
. - A superfície inferior é o plano
. - O volume procurado é a região onde o paraboloide fica acima do plano, ou seja, onde
.
Passo 2
Vamos traduzir a ideia de volume para uma integral dupla. Em problemas assim, o volume entre o plano
e uma superfície
sobre uma região
no plano
é dado por
Aqui
. A região
é o conjunto de pontos
tais que
.
Passo 3
Determine a região
resolvendo
. Isso dá
Logo
é o disco centrado na origem de raio
.
Passo 4
Escolhemos coordenadas polares porque
é um disco — coordenadas polares deixam os cálculos muito mais simples. Lembre-se da mudança:
e o elemento de área é
Breve explicação do
no
: um pequeno retângulo em coordenadas polares tem lados aproximadamente
e
, então sua área é
. Por isso aparece esse fator (o “Jacobian”).
Passo 5
Expressamos
em polares:
Os limites para
e
cobrem o disco de raio
:
varia de
a
e
varia de
a
. Portanto o volume vira
Passo 6
Simplificamos o integrando multiplicando
:
Então
Passo 7
Calcule a integral interna em
. Primeiro encontramos a antiderivada de
:
Agora avaliamos entre
e
:
Passo 8
Agora integramos em
:
Passo 9
Interpretação rápida para conferir: o resultado é positivo e tem dimensão de volume. Faz sentido que o volume seja finito (o paraboloide corta o plano formando um disco de raio
) e o valor
é coerente com a forma do sólido (um “chapéu” parabólico com altura
e base área
).