(Valor até 1.0 pontos) Uma população de bactérias cresce a uma taxa de
bactérias por hora (
é a população de bactérias no tempo t ). Sabendo que o número de bactérias tempo
é de 200 bactérias.
a) Encontre a quantidade de bactérias dependendo do tempo t (Sugestão:
.
b) Quantas bactérias existirão após 3 horas.
a) Encontre a quantidade de bactérias dependendo do tempo t (Sugestão:
b) Quantas bactérias existirão após 3 horas.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas. Informações fornecidas:
- A taxa de variação da população é
bactérias por hora. - A condição inicial é
bactérias.
Perguntas que o enunciado faz:
a) Encontrar a função que dá a quantidade de bactérias em função do tempo
.
b) Calcular quantas bactérias existirão após 3 horas, ou seja, encontrar .
a) Encontrar a função
b) Calcular quantas bactérias existirão após 3 horas, ou seja, encontrar
Passo 2
Conceito importante (passo-a-passo didático): integrar a derivada para recuperar a função original. Se sabemos que
, então uma antiderivada de
nos dá
até uma constante, isto é
Regra útil para exponenciais: a derivada de
é
. Portanto, uma antiderivada de
é
(porque ao derivar
volta-se a
). Vou usar essa regra com
.
Passo 3
Aplicando a integração à taxa dada:
Posso tirar a constante
para fora da integral:
Usando a regra da antiderivada de
com
, obtemos
Logo
Passo 4
Calcule a constante numérica:
Portanto a antiderivada geral é
onde
é a constante de integração que vamos determinar com a condição inicial.
Passo 5
Usar a condição inicial
para achar
. Substituindo
em
:
Mas sabemos que
, então
Passo 6
Concluir a expressão final para a população:
Isso responde a letra (a). Agora vamos à letra (b): calcular
.
Passo 7
Calcule
:
Valor exato:
. Valor aproximado (usando aproximação de
):
Se preferir um número inteiro (pois bactérias são discretas), arredonda-se para
bactérias.
Resposta
(a)
(b)
(b)