(Valor até 1.0 pontos) Uma população de bactérias cresce a uma taxa de y^{\prime}(t)=\frac{d y}{d t}(t)= 20 e^{0.1 t} bactérias por hora ( \mathrm{y}(\mathrm{t}) é a população de bactérias no tempo t ). Sabendo que o número de bactérias tempo \mathrm{t}=0 é de 200 bactérias.
a) Encontre a quantidade de bactérias dependendo do tempo t (Sugestão: \int y^{\prime}(x) d x= y(x)+c).
b) Quantas bactérias existirão após 3 horas.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas. Informações fornecidas:
  • A taxa de variação da população é \,y'(t)=\dfrac{dy}{dt}(t)=20e^{0,1t}\, bactérias por hora.
  • A condição inicial é \,y(0)=200\, bactérias.
Perguntas que o enunciado faz:
a) Encontrar a função \,y(t)\, que dá a quantidade de bactérias em função do tempo t.
b) Calcular quantas bactérias existirão após 3 horas, ou seja, encontrar \,y(3)\,.

Passo 2

Conceito importante (passo-a-passo didático): integrar a derivada para recuperar a função original. Se sabemos que \,y'(t)=g(t)\,, então uma antiderivada de g nos dá y até uma constante, isto é
y(t)=\int g(t)\,dt + C.
Regra útil para exponenciais: a derivada de \,e^{at}\, é \,a e^{at}\,. Portanto, uma antiderivada de \,e^{at}\, é \,\dfrac{1}{a}e^{at}\, (porque ao derivar \dfrac{1}{a}e^{at} volta-se a \,e^{at}\,). Vou usar essa regra com a=0,1.

Passo 3

Aplicando a integração à taxa dada:
\int y'(t)\,dt=\int 20e^{0,1t}\,dt.
Posso tirar a constante 20 para fora da integral:
\int 20e^{0,1t}\,dt=20\int e^{0,1t}\,dt.
Usando a regra da antiderivada de e^{at} com a=0,1, obtemos
\int e^{0,1t}\,dt=\dfrac{1}{0,1}e^{0,1t}.
Logo
20\int e^{0,1t}\,dt=20\cdot \dfrac{1}{0,1}e^{0,1t}.

Passo 4

Calcule a constante numérica:
20\cdot \dfrac{1}{0,1}=20\cdot 10=200.
Portanto a antiderivada geral é
y(t)=200e^{0,1t}+C,
onde C é a constante de integração que vamos determinar com a condição inicial.

Passo 5

Usar a condição inicial \,y(0)=200\, para achar C. Substituindo t=0 em \,y(t)=200e^{0,1t}+C\,:
y(0)=200e^{0,1\cdot 0}+C=200e^{0}+C=200\cdot 1 + C=200+C.
Mas sabemos que y(0)=200, então
200+C=200 \quad\Rightarrow\quad C=0.

Passo 6

Concluir a expressão final para a população:
y(t)=200e^{0,1t}.
Isso responde a letra (a). Agora vamos à letra (b): calcular y(3).

Passo 7

Calcule y(3):
y(3)=200e^{0,1\cdot 3}=200e^{0,3}.
Valor exato: 200e^{0,3}. Valor aproximado (usando aproximação de e^{0,3}\approx 1,3498588076):
y(3)\approx 200\cdot 1,3498588076 \approx 269,97\text{ bactérias.}é
Se preferir um número inteiro (pois bactérias são discretas), arredonda-se para 270 bactérias.

Resposta

(a) y(t)=200e^{0,1t}
(b) y(3)=200e^{0,3}\approx 269,97

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