Calcule:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a primitiva (integral indefinida) da função
. Ou seja, encontrar uma função
tal que
Informações dadas: a integral é
sem limites — portanto resultado com constante de integração
.
Passo 2
Escolha do método: aqui temos um produto de uma função polinomial
com uma exponencial
. Um método natural e eficiente para integrais de produto é a fórmula de integração por partes. Vou lembrar e explicar essa fórmula antes de aplicar.
A fórmula de integração por partes vem da regra do produto para derivadas. Se escolhemos duas funções
e
, a regra do produto diz:
Integrando ambos os lados em relação a
obtemos
Rearranjando resulta a fórmula de integração por partes:
onde
e
. Aqui
e
são escolhidos de forma conveniente para simplificar a integral restante.
Passo 3
Aplicando a integração por partes ao nosso caso: escolhemos
Justificativa informal da escolha:
fica mais simples ao derivar (vira uma constante), e
é fácil de integrar (permite encontrar
explicitamente). Agora calculamos
e
.
Derivando
:
Integrando
:
pois a derivada de
é
.
Passo 4
Agora colocamos tudo na fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores encontrados:
Calcule passo a passo o lado direito:
e a integral restante é
Passo 5
Calcule
novamente:
Substituindo:
Simplificando os termos:
Fatorando
para ficar mais compacto:
Passo 6
Verificação rápida (opcional, mas bom para ganhar confiança): derivando
deve retornar a integranda.
Usando a regra do produto e que ,
Usando a regra do produto e que
o que confirma que a primitiva está correta.