Calcule:
\int 2 x e^{-x} d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a primitiva (integral indefinida) da função \,2 x e^{-x}. Ou seja, encontrar uma função F(x) tal que
F'(x)=2 x e^{-x}.
Informações dadas: a integral é
\int 2 x e^{-x}\,dx,
sem limites — portanto resultado com constante de integração C.

Passo 2

Escolha do método: aqui temos um produto de uma função polinomial \,2x com uma exponencial \,e^{-x}. Um método natural e eficiente para integrais de produto é a fórmula de integração por partes. Vou lembrar e explicar essa fórmula antes de aplicar.
A fórmula de integração por partes vem da regra do produto para derivadas. Se escolhemos duas funções u(x) e v(x), a regra do produto diz:
\frac{d}{dx}\big(u(x)v(x)\big)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Integrando ambos os lados em relação a x obtemos
\int u'(x)v(x)\,dx + \int u(x)v'(x)\,dx = u(x)v(x) + \text{const}.
Rearranjando resulta a fórmula de integração por partes:
\int u(x)\,dv(x)=u(x)v(x)-\int v(x)\,du(x),
onde dv(x)=v'(x)\,dx e du(x)=u'(x)\,dx. Aqui u e dv são escolhidos de forma conveniente para simplificar a integral restante.

Passo 3

Aplicando a integração por partes ao nosso caso: escolhemos
u=2x,\qquad dv=e^{-x}\,dx.
Justificativa informal da escolha: u=2x fica mais simples ao derivar (vira uma constante), e dv=e^{-x}\,dx é fácil de integrar (permite encontrar v explicitamente). Agora calculamos du e v.
Derivando u:
du=\frac{d}{dx}(2x)\,dx=2\,dx.
Integrando dv:
v=\int e^{-x}\,dx=-e^{-x},
pois a derivada de -e^{-x} é e^{-x}.

Passo 4

Agora colocamos tudo na fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Substituindo os valores encontrados:
\int 2x\,e^{-x}\,dx = (2x)\cdot(-e^{-x}) - \int (-e^{-x})\cdot 2\,dx.
Calcule passo a passo o lado direito:
(2x)(-e^{-x}) = -2x e^{-x},
e a integral restante é
- \int (-e^{-x})\cdot 2\,dx = -\big( -2\int e^{-x}\,dx\big) = 2\int e^{-x}\,dx.

Passo 5

Calcule \int e^{-x}\,dx novamente:
\int e^{-x}\,dx = -e^{-x}.
Substituindo:
\int 2x\,e^{-x}\,dx = -2x e^{-x} + 2\big(-e^{-x}\big) + C.
Simplificando os termos:
\int 2x\,e^{-x}\,dx = -2x e^{-x} - 2 e^{-x} + C.
Fatorando -2 e^{-x} para ficar mais compacto:
\int 2x\,e^{-x}\,dx = -2 e^{-x}(x+1) + C.

Passo 6

Verificação rápida (opcional, mas bom para ganhar confiança): derivando F(x)=-2 e^{-x}(x+1) deve retornar a integranda.
Usando a regra do produto e que \frac{d}{dx}e^{-x}=-e^{-x},
F'(x)=-2\big( (x+1)\frac{d}{dx}e^{-x} + e^{-x}\frac{d}{dx}(x+1)\big) =-2\big( (x+1)(-e^{-x}) + e^{-x}\cdot 1\big) =-2\big( -x e^{-x}\big) =2x e^{-x},
o que confirma que a primitiva está correta.

Resposta

-2 e^{-x}(x+1) + C

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