Calcule:
\int \sqrt{3-4 x^{2}} d x
Use o critério da comparação para determinar se a integral
\int_{2}^{+\infty} \frac{1}{x^{2} \ln x} d x
diverge ou converge.

Passo 1

O enunciado tem duas partes. Vou listar claramente o que cada parte pede e as informações dadas.
  • Parte A: Calcular a integral indefinida \displaystyle \int \sqrt{3-4 x^{2}}\,dx.
    Informação dada: a função integranda é \sqrt{3-4x^{2}}.
  • Parte B: Usar o critério da comparação para determinar se a integral imprópria
    \int_{2}^{+\infty} \frac{1}{x^{2}\ln x}\,dx
    converge ou diverge.
    Informação dada: o intervalo de integração é [2,+\infty). Note que para x\ge2 temos \ln x>0, então o integrando é positivo no intervalo (isso permite usar testes de comparação com funções positivas).

Passo 2

Vamos resolver a Parte A — calcular \displaystyle \int \sqrt{3-4 x^{2}}\,dx. Primeiro vou explicar a ideia: a expressão sob a raiz tem a forma \,a^{2}-u^{2}\, (diferença de quadrados), o que é um sinal clássico para usar uma substituição trigonométrica do tipo u=a\sin\theta. Isso transforma a raiz em algo proporcional a \cos\theta, tornando a integral tratável.
No nosso caso podemos ver \,3-4x^{2}=(\sqrt{3})^{2}-(2x)^{2}. Então escolhemos a substituição
2x = \sqrt{3}\sin t,
ou equivalentemente
x = \frac{\sqrt{3}}{2}\sin t.
Aqui a variável t será escolhida de modo que \cos t\ge0 (por exemplo t\in\!\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right]) para evitar problemas com valor absoluto na raiz.

Passo 3

Calculemos as derivadas e a raiz sob a substituição. Da substituição x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin t vem
dx = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos t\,dt.
Agora a expressão dentro da raiz:
3-4x^{2} = 3 - 4\left(\frac{3}{4}\sin^{2}t\right) = 3(1-\sin^{2}t) = 3\cos^{2}t.
Como escolhemos t com \cos t\ge0, temos
\sqrt{3-4x^{2}} = \sqrt{3}\cos t.

Passo 4

Substituindo tudo na integral original:
\int \sqrt{3-4x^{2}}\,dx = \int \big(\sqrt{3}\cos t\big)\cdot\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\cos t\,dt\big) = \int \frac{3}{2}\cos^{2}t \,dt.
Agora explico a identidade usada para integrar \cos^{2}t: a fórmula de redução é
\cos^{2}t = \frac{1+\cos(2t)}{2}.
Esta é útil porque integra-se facilmente: \int 1\,dt = t e \int \cos(2t)\,dt = \tfrac{1}{2}\sin(2t).

Passo 5

Aplicando a identidade e integrando:
\int \frac{3}{2}\cos^{2}t\,dt = \frac{3}{2}\int \frac{1+\cos(2t)}{2}\,dt = \frac{3}{4}\int \big(1+\cos(2t)\big)\,dt.
Integrando termo a termo:
\frac{3}{4}\left(t + \frac{1}{2}\sin(2t)\right) + C.
Podemos simplificar \frac{1}{2}\sin(2t)=\sin t\cos t. Então a primitiva fica
\frac{3}{4}t + \frac{3}{4}\cdot\sin t\cos t + C.

Passo 6

Agora voltamos à variável x. Lembrando que pela substituição temos
\sin t = \frac{2x}{\sqrt{3}},\qquad \cos t = \frac{\sqrt{3-4x^{2}}}{\sqrt{3}}, \qquad t = \arcsin\!\left(\frac{2x}{\sqrt{3}}\right).
Calcule \sin t\cos t:
\sin t\cos t = \frac{2x}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3-4x^{2}}}{\sqrt{3}} = \frac{2x\sqrt{3-4x^{2}}}{3}.
Substituindo em \frac{3}{4}t + \frac{3}{4}\sin t\cos t obtemos
\frac{3}{4}\arcsin\!\left(\frac{2x}{\sqrt{3}}\right) + \frac{3}{4}\cdot\frac{2x\sqrt{3-4x^{2}}}{3} + C.
A segunda parcela simplifica:
\frac{3}{4}\cdot\frac{2x\sqrt{3-4x^{2}}}{3} = \frac{1}{2}x\sqrt{3-4x^{2}}.

Passo 7

Portanto a primitiva final é
\boxed{\displaystyle \int \sqrt{3-4x^{2}}\,dx = \frac{1}{2}x\sqrt{3-4x^{2}}+\frac{3}{4}\arcsin\!\left(\frac{2x}{\sqrt{3}}\right)+C.}
Comentário rápido: é sempre bom verificar derivando — aplicando a regra do produto e a cadeia, recupera-se \sqrt{3-4x^{2}}.

Passo 8

Agora a Parte B — determinar por comparação se
\int_{2}^{+\infty}\frac{1}{x^{2}\ln x}\,dx
converge ou diverge. Vou explicar o critério de comparação usado: se 0\le f(x)\le g(x) para x grande e \int g converge, então \int f também converge. Do mesmo modo, se f(x)\ge g(x)\ge0 e \int g diverge, então \int f diverge.
Aqui temos f(x)=\dfrac{1}{x^{2}\ln x} para x\ge2. Note que \ln x\ge\ln 2>0 quando x\ge2. Assim podemos comparar f com a função g(x)=\dfrac{1}{x^{2}\ln 2}, que é uma constante multiplicada por 1/x^{2}.

Passo 9

Mostramos a desigualdade explícita: para x\ge2,
\ln x \ge \ln 2 \quad\Rightarrow\quad x^{2}\ln x \ge x^{2}\ln 2 \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{x^{2}\ln x} \le \frac{1}{x^{2}\ln 2}.
Como \dfrac{1}{\ln 2} é apenas uma constante positiva, a comparação reduz-se à função 1/x^{2}. Sabemos pelo teste p que
\int_{2}^{\infty}\frac{1}{x^{2}}\,dx
converge, porque é uma integral de tipo p com p=2>1. Então \dfrac{1}{x^{2}\ln 2} é integrável no mesmo intervalo (multiplicando por constante positiva não altera convergência).

Passo 10

Pelo critério da comparação (função positiva majorada por função integrável), concluímos que
\int_{2}^{\infty}\frac{1}{x^{2}\ln x}\,dx
converge.

Resposta

\displaystyle \int \sqrt{3-4x^{2}}\,dx = \frac{1}{2}x\sqrt{3-4x^{2}}+\frac{3}{4}\arcsin\!\left(\frac{2x}{\sqrt{3}}\right)+C
A integral \displaystyle \int_{2}^{+\infty}\frac{1}{x^{2}\ln x}\,dx converge.

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