Calcule:
Use o critério da comparação para determinar se a integral
diverge ou converge.
Use o critério da comparação para determinar se a integral
diverge ou converge.
Passo 1
O enunciado tem duas partes. Vou listar claramente o que cada parte pede e as informações dadas.
-
Parte A: Calcular a integral indefinida
.
Informação dada: a função integranda é. -
Parte B: Usar o critério da comparação para determinar se a integral imprópriaconverge ou diverge.
Informação dada: o intervalo de integração é. Note que para temos , então o integrando é positivo no intervalo (isso permite usar testes de comparação com funções positivas).
Passo 2
Vamos resolver a Parte A — calcular
. Primeiro vou explicar a ideia: a expressão sob a raiz tem a forma
(diferença de quadrados), o que é um sinal clássico para usar uma substituição trigonométrica do tipo
. Isso transforma a raiz em algo proporcional a
, tornando a integral tratável.
No nosso caso podemos ver
. Então escolhemos a substituição
ou equivalentemente
Aqui a variável
será escolhida de modo que
(por exemplo
) para evitar problemas com valor absoluto na raiz.
Passo 3
Calculemos as derivadas e a raiz sob a substituição. Da substituição
vem
Agora a expressão dentro da raiz:
Como escolhemos
com
, temos
Passo 4
Substituindo tudo na integral original:
Agora explico a identidade usada para integrar
: a fórmula de redução é
Esta é útil porque integra-se facilmente:
e
.
Passo 5
Aplicando a identidade e integrando:
Integrando termo a termo:
Podemos simplificar
. Então a primitiva fica
Passo 6
Agora voltamos à variável
. Lembrando que pela substituição temos
Calcule
:
Substituindo em
obtemos
A segunda parcela simplifica:
Passo 7
Portanto a primitiva final é
Comentário rápido: é sempre bom verificar derivando — aplicando a regra do produto e a cadeia, recupera-se
.
Passo 8
Agora a Parte B — determinar por comparação se
converge ou diverge. Vou explicar o critério de comparação usado: se
para
grande e
converge, então
também converge. Do mesmo modo, se
e
diverge, então
diverge.
Aqui temos
para
. Note que
quando
. Assim podemos comparar
com a função
, que é uma constante multiplicada por
.
Passo 9
Mostramos a desigualdade explícita: para
,
Como
é apenas uma constante positiva, a comparação reduz-se à função
. Sabemos pelo teste p que
converge, porque é uma integral de tipo p com
. Então
é integrável no mesmo intervalo (multiplicando por constante positiva não altera convergência).
Passo 10
Pelo critério da comparação (função positiva majorada por função integrável), concluímos que
converge.
Resposta
A integral
converge.