Considerando que o anulador L(D) de uma função é o operador diferencial de menor grau que anula a função, responda às seguintes questões:
Considere a seguinte EDO linear com coeficientes constantes:
2 \frac{d^{3} y}{d x^{3}}+9 \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=-5 x+\cos (8 x)+\operatorname{sen}(7 x)
Encontre o anulador da função g(x) que compõem essa EDO, e o avalie no ponto D=5.
Coloque sua resposta aqui: L(D=5)=

Passo 1

O enunciado dá a seguinte EDO com termos do lado direito (peguei-os do enunciado):
2\frac{d^{3}y}{dx^{3}}+9\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = -5x + \cos(8x) + \operatorname{sen}(7x).
O que o problema pede:
  • Encontrar o anulador L(D) da função
g(x) = -5x + \cos(8x) + \operatorname{sen}(7x).
  • Avaliar esse anulador no ponto D=5, ou seja calcular L(5).

Passo 2

O que é um anulador, de modo prático?
  • Denotamos por D o operador derivada: D = \dfrac{d}{dx}.
  • Um operador diferencial polinomial L(D) anula uma função f(x) se L(D)[f(x)]=0.
  • Regra útil (que vou usar): para componentes simples:
    • Se f(x) é um polinômio de grau n, então D^{n+1} anula f.
    • Se f(x)=\cos(ax) ou f(x)=\sin(ax), então D^{2}+a^{2} anula f, porque a segunda derivada retorna -a^{2} vezes a função.

Passo 3

Anulador do termo polinomial -5x.
  • -5x é um polinômio de grau 1. Pela regra, seu anulador mínimo é D^{2}.
  • Verificação rápida (mostrando por que): D[-5x] = -5,\qquad D^{2}[-5x]=D[-5]=0,então D^{2}[-5x]=0. Logo o anulador mínimo para -5x é \boxed{D^{2}}.

Passo 4

Anuladores dos termos trigonométricos.
  • Para \cos(8x): como D^{2}\cos(8x)=-8^{2}\cos(8x)=-64\cos(8x), segue que (D^{2}+64)\cos(8x)=0.Então o anulador mínimo de \cos(8x) é \boxed{D^{2}+64}.
  • Para \operatorname{sen}(7x) (ou \sin(7x)): como D^{2}\sin(7x)=-7^{2}\sin(7x)=-49\sin(7x), segue que (D^{2}+49)\sin(7x)=0.Então o anulador mínimo de \operatorname{sen}(7x) é \boxed{D^{2}+49}.

Passo 5

Anulador comum (para toda a soma).
  • Para anular a soma g(x)=-5x+\cos(8x)+\operatorname{sen}(7x) precisamos de um operador que anule cada parcela simultaneamente.
  • Os anuladores mínimos encontrados são D^{2}, D^{2}+64 e D^{2}+49. Esses fatores são distintos (não têm raízes em comum), então o anulador conjunto mínimo é o produto (o m.c.m. desses polinômios): L(D)=D^{2}\,(D^{2}+49)\,(D^{2}+64).Esse L(D) é o operador diferencial de menor grau que anula g(x).

Passo 6

Avaliar L(D) no ponto D=5.
  • Substituir D=5 em L(D)=D^{2}(D^{2}+49)(D^{2}+64): L(5)=5^{2}\,(5^{2}+49)\,(5^{2}+64).
  • Calcular passo a passo: 5^{2}=25,
5^{2}+49=25+49=74,
5^{2}+64=25+64=89.
74\cdot 89 = 6586,
25\cdot 6586 = 164650.
  • Portanto L(5)=164650.

Resposta

L(D=5)=164650

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