Considerando que o anulador
de uma função é o operador diferencial de menor grau que anula a função, responda às seguintes questões:
Considere a seguinte EDO linear com coeficientes constantes:
Encontre o anulador da função
que compõem essa EDO, e o avalie no ponto
.
Coloque sua resposta aqui:
□
Considere a seguinte EDO linear com coeficientes constantes:
Passo 1
O enunciado dá a seguinte EDO com termos do lado direito (peguei-os do enunciado):
O que o problema pede:
- Encontrar o anulador
da função
- Avaliar esse anulador no ponto
, ou seja calcular .
Passo 2
O que é um anulador, de modo prático?
- Denotamos por
o operador derivada: . - Um operador diferencial polinomial
anula uma função se . - Regra útil (que vou usar): para componentes simples:
- Se
é um polinômio de grau , então anula . - Se
ou , então anula , porque a segunda derivada retorna vezes a função.
- Se
Passo 3
Anulador do termo polinomial
.
-
é um polinômio de grau . Pela regra, seu anulador mínimo é . - Verificação rápida (mostrando por que):
então . Logo o anulador mínimo para é
Passo 4
Anuladores dos termos trigonométricos.
- Para
: como , segue que Então o anulador mínimo de é . - Para
(ou ): como , segue que Então o anulador mínimo de é .
Passo 5
Anulador comum (para toda a soma).
- Para anular a soma
precisamos de um operador que anule cada parcela simultaneamente. - Os anuladores mínimos encontrados são
, e . Esses fatores são distintos (não têm raízes em comum), então o anulador conjunto mínimo é o produto (o m.c.m. desses polinômios): Esse é o operador diferencial de menor grau que anula .
Passo 6
Avaliar
no ponto
.
- Substituir
em : - Calcular passo a passo:
- Portanto