Considerando que o anulador L(D) de uma função é o operador diferencial de menor grau que anula a função, responda às seguintes questões:
Considere a seguinte EDO linear com coeficientes constantes:
2 \frac{d^{3} y}{d x^{3}}+9 \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=-5 x+\cos (8 x)+\operatorname{sen}(7 x)
Encontre a solução particular y_{p}, em potencial, dessa EDO e a avalie no ponto x=0, com todos os seus coeficientes iguais a k_{i}=-3.
Coloque sua resposta aqui y_{p}(0)=

Passo 1

O enunciado dá a EDO linear com coeficientes constantes
2\frac{d^{3}y}{dx^{3}}+9\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=-5x+\cos(8x)+\operatorname{sen}(7x).
As tarefas são:
  • Encontrar uma solução particular y_{p} “em potencial” (isto é, pelo método dos coeficientes a determinar, usando o anulador apropriado).
  • Avaliar essa y_{p} no ponto x=0 depois de atribuir a todos os coeficientes da forma proposta o valor k_{i}=-3.
Informações importantes dadas pelo enunciado:
  • O termo do lado direito é soma de três partes: um polinômio de grau 1 (isto é, -5x), uma função \cos(8x) e uma função \operatorname{sen}(7x).
  • Pede-se que, após escrever a forma com coeficientes k_i, esses coeficientes sejam todos fixados em -3 para avaliar y_p(0).

Passo 2

Primeiro encontro o polinômio característico da parte homogênea (para saber multiplicidades que exigem fator x^m na ansatz):
2r^3+9r^2=r^2(2r+9)=0.
Portanto as raízes são r=0 com multiplicidade 2 e r=-\tfrac{9}{2} simples. Isso significa que a solução homogênea contém termos constantes e proporcionais a x, logo se o lado direito tiver polinômio, a ansatz para esse polinômio deve ser multiplicada por x^2 (a multiplicidade de r=0).

Passo 3

Construo a forma potencial (ansatz) da solução particular como soma das partes que correspondem aos três termos do lado direito. Uso coeficientes k_1,\dots,k_6 para explicitar a ideia pedida no enunciado:
y_p(x)=k_1 x^3 + k_2 x^2 + k_3\cos(8x)+k_4\operatorname{sen}(8x)+k_5\cos(7x)+k_6\operatorname{sen}(7x).
Comentários didáticos rápidos sobre a escolha:
  • Para -5x (grau 1) tentamos um polinômio de grau 1; mas como r=0 é raiz dupla da homogênea, multiplicamos por x^2. Logo a forma é x^2(\text{polinômio de grau 1}) = k_1 x^3 + k_2 x^2ô.
  • Para \cos(8x) usamos k_3\cos(8x)+k_4\operatorname{sen}(8x).
  • Para \operatorname{sen}(7x) usamos k_5\cos(7x)+k_6\operatorname{sen}(7x).
    Esta é a versão “em potencial” (a forma com coeficientes a determinar).

Passo 4

Agora calculo as derivadas necessárias parcela a parcela e aplico o operador L(D)=2D^3+9D^2.
Parte polinomial P(x)=k_1 x^3 + k_2 x^2:
P'(x)=3k_1 x^2+2k_2 x,
P''(x)=6k_1 x+2k_2,
P'''(x)=6k_1.
Aplicando 2P''' + 9P'':
2P'''+9P''=2(6k_1)+9(6k_1 x+2k_2)=54k_1 x + (12k_1+18k_2).
Esse resultado deve igualar a parte polinomial do RHS, que é -5x. Igualando coeficientes do polinômio:
54k_1=-5,\qquad 12k_1+18k_2=0.
Daí
k_1=-\frac{5}{54},\qquad k_2=-\frac{12k_1}{18}=-\frac{2k_1}{3}=\frac{5}{81}.

Passo 5

Agora a parte \cos(8x) com T_8(x)=k_3\cos(8x)+k_4\operatorname{sen}(8x). Calculo derivadas:
T_8'=-8k_3\operatorname{sen}(8x)+8k_4\cos(8x),
T_8''=-64k_3\cos(8x)-64k_4\operatorname{sen}(8x),
T_8'''=512k_3\operatorname{sen}(8x)-512k_4\cos(8x).
Aplicando o operador:
2T_8'''+9T_8'' = (-576k_3-1024k_4)\cos(8x) + (1024k_3-576k_4)\operatorname{sen}(8x).
Essa expressão deve igualar a parte correspondente do RHS, que é 1\cdot\cos(8x)+0\cdot\operatorname{sen}(8x). Assim obtemos o sistema
-576k_3-1024k_4=1,
1024k_3-576k_4=0.
Da segunda equação 1024k_3=576k_4 => k_3=\dfrac{576}{1024}k_4=\dfrac{9}{16}k_4.
Substituindo na primeira:
-576\left(\tfrac{9}{16}k_4\right)-1024k_4=1 \quad\Rightarrow\quad -324k_4-1024k_4=-1348k_4=1.
Logo
k_4=-\frac{1}{1348},\qquad k_3=\frac{9}{16}k_4=-\frac{9}{21568}.

Passo 6

Agora a parte \operatorname{sen}(7x) com T_7(x)=k_5\cos(7x)+k_6\operatorname{sen}(7x). Derivadas:
T_7'=-7k_5\operatorname{sen}(7x)+7k_6\cos(7x),
T_7''=-49k_5\cos(7x)-49k_6\operatorname{sen}(7x),
T_7'''=343k_5\operatorname{sen}(7x)-343k_6\cos(7x).
Aplicando o operador:
2T_7'''+9T_7'' = (-441k_5-686k_6)\cos(7x) + (686k_5-441k_6)\operatorname{sen}(7x).
Isso deve igualar a parte RHS 0\cdot\cos(7x)+1\cdot\operatorname{sen}(7x). Assim obtemos
-441k_5-686k_6=0,
686k_5-441k_6=1.
Da primeira 686k_6=-441k_5 => k_6=-\dfrac{441}{686}k_5=-\dfrac{9}{14}k_5.
Substituindo na segunda:
686k_5-441\left(-\tfrac{9}{14}k_5\right)=1 \quad\Rightarrow\quad 686k_5+\tfrac{441\cdot9}{14}k_5=1.
Calculando o coeficiente: \tfrac{441\cdot9}{14}=\tfrac{3969}{14}=\tfrac{1939}{2} quando somado com 686=\tfrac{1372}{2} \tfrac{1939}{2}k_5. Logo
\tfrac{1939}{2}k_5=1 \quad\Rightarrow\quad k_5=\frac{2}{1939}.
E
k_6=-\frac{9}{14}k_5=-\frac{9}{14}\cdot\frac{2}{1939}=-\frac{9}{13573}.

Passo 7

Reunindo, a solução particular explicitamente determinada é
y_p(x)=-\frac{5}{54}x^3+\frac{5}{81}x^2-\frac{9}{21568}\cos(8x)-\frac{1}{1348}\operatorname{sen}(8x)+\frac{2}{1939}\cos(7x)-\frac{9}{13573}\operatorname{sen}(7x).
Isto responde ao pedido de determinar y_p “em potencial” com coeficientes resolvidos.
Mas o enunciado pede a avaliação de y_p(0) quando "todos os seus coeficientes iguais a k_i=-3". Interpreto isso como: tomar a forma potencial escrita no Passo 3 (com os coeficientes k_1,\dots,k_6) e então atribuir a cada k_i o valor -3, e avaliar em x=0.

Passo 8

Parto da forma potencial do Passo 3:
y_p(x)=k_1 x^3 + k_2 x^2 + k_3\cos(8x)+k_4\operatorname{sen}(8x)+k_5\cos(7x)+k_6\operatorname{sen}(7x).
Substituindo x=0 e lembrando que \cos(0)=1, \operatorname{sen}(0)=0, obtemos
y_p(0)=k_1\cdot 0 + k_2\cdot 0 + k_3\cdot 1 + k_4\cdot 0 + k_5\cdot 1 + k_6\cdot 0 = k_3+k_5.
Agora atribuo a todos os coeficientes k_i=-3. Em particular k_3=-3 e k_5=-3. Portanto
y_p(0)=(-3)+(-3)=-6.

Resposta

y_{p}(0) = -6

Exercícios relacionados