Considerando que o anulador
de uma função é o operador diferencial de menor grau que anula a função, responda às seguintes questões:
Considere a seguinte EDO linear com coeficientes constantes:
Encontre a solução particular
, em potencial, dessa EDO e a avalie no ponto
, com todos os seus coeficientes iguais a
.
Coloque sua resposta aqui
□
Considere a seguinte EDO linear com coeficientes constantes:
Passo 1
O enunciado dá a EDO linear com coeficientes constantes
As tarefas são:
- Encontrar uma solução particular
“em potencial” (isto é, pelo método dos coeficientes a determinar, usando o anulador apropriado). - Avaliar essa
no ponto depois de atribuir a todos os coeficientes da forma proposta o valor .
Informações importantes dadas pelo enunciado:
- O termo do lado direito é soma de três partes: um polinômio de grau
(isto é, ), uma função e uma função . - Pede-se que, após escrever a forma com coeficientes
, esses coeficientes sejam todos fixados em para avaliar .
Passo 2
Primeiro encontro o polinômio característico da parte homogênea (para saber multiplicidades que exigem fator
na ansatz):
Portanto as raízes são
com multiplicidade
e
simples. Isso significa que a solução homogênea contém termos constantes e proporcionais a
, logo se o lado direito tiver polinômio, a ansatz para esse polinômio deve ser multiplicada por
(a multiplicidade de
).
Passo 3
Construo a forma potencial (ansatz) da solução particular como soma das partes que correspondem aos três termos do lado direito. Uso coeficientes
para explicitar a ideia pedida no enunciado:
Comentários didáticos rápidos sobre a escolha:
- Para
(grau 1) tentamos um polinômio de grau 1; mas como é raiz dupla da homogênea, multiplicamos por . Logo a forma é . - Para
usamos . - Para
usamos .
Esta é a versão “em potencial” (a forma com coeficientes a determinar).
Passo 4
Agora calculo as derivadas necessárias parcela a parcela e aplico o operador
.
Parte polinomial
:
Aplicando
:
Esse resultado deve igualar a parte polinomial do RHS, que é
. Igualando coeficientes do polinômio:
Daí
Passo 5
Agora a parte
com
. Calculo derivadas:
Aplicando o operador:
Essa expressão deve igualar a parte correspondente do RHS, que é
. Assim obtemos o sistema
Da segunda equação
=>
.
Substituindo na primeira:
Substituindo na primeira:
Logo
Passo 6
Agora a parte
com
. Derivadas:
Aplicando o operador:
Isso deve igualar a parte RHS
. Assim obtemos
Da primeira
=>
.
Substituindo na segunda:
Substituindo na segunda:
Calculando o coeficiente:
quando somado com
dá
. Logo
E
Passo 7
Reunindo, a solução particular explicitamente determinada é
Isto responde ao pedido de determinar
“em potencial” com coeficientes resolvidos.
Mas o enunciado pede a avaliação de
quando "todos os seus coeficientes iguais a
". Interpreto isso como: tomar a forma potencial escrita no Passo 3 (com os coeficientes
) e então atribuir a cada
o valor
, e avaliar em
.
Passo 8
Parto da forma potencial do Passo 3:
Substituindo
e lembrando que
,
, obtemos
Agora atribuo a todos os coeficientes
. Em particular
e
. Portanto