Calcule
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
Informações dadas:
- Os limites em
e descrevem o disco no plano de raio : . - Para cada ponto
deste disco, varia de até . - O integrando é
.
O que se pede: calcular exatamente o valor numérico desta integral tripla.
Passo 2
Por que usar coordenadas cilíndricas?
A região no plano é um disco centrado na origem e o integrando depende de
, que é radial. Em situações assim coordenadas cilíndricas simplificam muito as contas.
A região no plano
Mudança para coordenadas cilíndricas:
O elemento de volume tem o fator jacobiano
, isto é,
Além disso,
Expliquei: o jacobiano
aparece porque pequenas áreas em coordenadas polares valem
. Aqui usamos isso em 3D multiplicando por
.
Passo 3
Determinar os limites em coordenadas cilíndricas:
-
percorre todo o disco: . -
vai de até (raio do disco): . - Para cada
, vai de (pois ) até : .
Substituindo tudo na integral:
Agrupando fatores do integrando obtemos (colocando a integral em forma limpa):
Passo 4
Integrar em
primeiro. Aqui
e
são constantes quando integramos em
, então
Expliquei: integrar uma constante
em relação a
dá essa constante vezes a largura do intervalo em
, que é
.
Assim a integral reduz-se a
Passo 5
Expandir o integrando em
e calcular a integral em
:
Calcular antiderivadas:
Portanto
Passo 6
Agora integrar em
. A integral em
é simples, pois o resultado anterior não depende de
:
Fatorando
:
Simplificando
obtemos