Calcule \int_{-3}^{3} \int_{-\sqrt{9-x^{2}}}^{\sqrt{9-x^{2}}} \int_{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}^{3}\left(x^{2}+y^{2}\right) d z d y d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\int_{-3}^{3} \int_{-\sqrt{9-x^{2}}}^{\sqrt{9-x^{2}}} \int_{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}^{3}\left(x^{2}+y^{2}\right)\, d z\, d y\, d x.
Informações dadas:
  • Os limites em x e y descrevem o disco no plano xy de raio 3: \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 9\}.
  • Para cada ponto (x,y) deste disco, z varia de z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} até z=3.
  • O integrando é x^{2}+y^{2}.
    O que se pede: calcular exatamente o valor numérico desta integral tripla.

Passo 2

Por que usar coordenadas cilíndricas?
A região no plano xy é um disco centrado na origem e o integrando depende de x^{2}+y^{2}, que é radial. Em situações assim coordenadas cilíndricas simplificam muito as contas.
Mudança para coordenadas cilíndricas:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z = z.
O elemento de volume tem o fator jacobiano r, isto é,
dV = dx\,dy\,dz = r\,dr\,d\theta\,dz.
Além disso,
x^{2}+y^{2} = r^{2}.
Expliquei: o jacobiano r aparece porque pequenas áreas em coordenadas polares valem r\,dr\,d\theta. Aqui usamos isso em 3D multiplicando por dz.

Passo 3

Determinar os limites em coordenadas cilíndricas:
  • \theta percorre todo o disco: \theta\in[0,2\pi].
  • r vai de 0 até 3 (raio do disco): r\in[0,3].
  • Para cada r, z vai de z=r (pois \sqrt{x^{2}+y^{2}}=r) até z=3: z\in[r,3].
Substituindo tudo na integral:
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{3}\int_{z=r}^{3} \bigl(r^{2}\bigr)\, (r\,dz\,dr\,d\theta).
Agrupando fatores do integrando obtemos (colocando a integral em forma limpa):
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{3}\int_{r}^{3} r^{3}\, dz\, dr\, d\theta.

Passo 4

Integrar em z primeiro. Aqui r e \theta são constantes quando integramos em z, então
\int_{z=r}^{3} r^{3}\, dz = r^{3}\bigl(3 - r\bigr).
Expliquei: integrar uma constante r^{3} em relação a z dá essa constante vezes a largura do intervalo em z, que é 3-r.
Assim a integral reduz-se a
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{3} r^{3}\bigl(3-r\bigr)\, dr\, d\theta.

Passo 5

Expandir o integrando em r e calcular a integral em r:
r^{3}(3-r)=3r^{3}-r^{4}.
Calcular antiderivadas:
\int_{0}^{3} 3r^{3}\, dr = 3\cdot\left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{3} = 3\cdot\frac{3^{4}}{4} = 3\cdot\frac{81}{4} = \frac{243}{4},
\int_{0}^{3} r^{4}\, dr = \left[\frac{r^{5}}{5}\right]_{0}^{3} = \frac{3^{5}}{5} = \frac{243}{5}.
Portanto
\int_{0}^{3}\bigl(3r^{3}-r^{4}\bigr)\, dr = \frac{243}{4} - \frac{243}{5}.

Passo 6

Agora integrar em \theta. A integral em \theta é simples, pois o resultado anterior não depende de \theta:
\int_{0}^{2\pi}\left(\frac{243}{4} - \frac{243}{5}\right)\, d\theta = 2\pi\left(\frac{243}{4} - \frac{243}{5}\right).
Fatorando 243:
2\pi\cdot 243\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{5}\right) = 2\pi\cdot 243\cdot\frac{1}{20} = \frac{486}{20}\pi.
Simplificando \dfrac{486}{20}=\dfrac{243}{10} obtemos
\frac{243\pi}{10}.

Resposta

\dfrac{243\pi}{10}

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