Faça o esboço e calcule o volume da placa triangular localizada no primeiro octante, limitada pela equação
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: fazer o esboço (um desenho mental / descrição do sólido) e calcular o volume da região no primeiro octante limitada pela equação
.
Informações dadas:
- A superfície limitante é o plano
. - A região está no primeiro octante, ou seja, temos
.
O que precisamos obter:
- Identificar geometricamente a região (para o esboço).
- Calcular o volume dessa região (usar integração ou fórmula geométrica).
Passo 2
Esboço geométrico e pontos notáveis (como fazer o desenho rapidamente na prova).
- Para achar onde o plano intercepta os eixos, ponha duas coordenadas iguais a zero e resolva para a terceira:
- Esses três pontos são os vértices de um triângulo no plano
. Juntando esse triângulo aos três planos coordenados forma-se um tetraedro (um “pirâmide” de base triangular) com vértices em , , , . - Como esboçar rápido: desenhe eixos
orientados, marque os pontos nas respectivas escalas e una-os formando um triângulo inclinado; a origem e esse triângulo fecham o tetraedro.
Passo 3
Estratégia para calcular o volume (ideia básica).
- Volume de uma região sólida pode ser obtido por uma integral tripla do elemento de volume
. - Aqui é conveniente integrar na ordem
: para cada par no triângulo de projeção no plano , varia de até o valor dado pelo plano, que é . - Precisamos então determinar os limites para
e que descrevem a projeção da região no plano .
Passo 4
Determinar os limites de integração explicitamente.
- A projeção do tetraedro no plano
é o triângulo onde e . Assim, para uma ordem de integração prática: - Explicando: para um
fixo entre e , só pode ir de até a reta ; para cada par naqueles limites, vai do plano até .
Passo 5
Montar a integral de volume.
- O volume
é - Aqui cada variável significa:
-
são coordenadas no espaço; -
é o elemento de volume (um paralelepípedo infinitesimal); - os limites vêm da geometria explicada no passo anterior.
-
Passo 6
Calcular a integral passo a passo (fazer as contas como na prova, sem pular etapas).
- Primeiro integrar em
: Então - Agora integrar em
. Para integranda em relação a : Avaliando em : Assim
Passo 7
Finalizar a integração em
e obter o resultado numérico.
- Expanda e integre:
Calcule a primitiva: Avaliando em :
Passo 8
Observação alternativa (fórmula geométrica simples) — para fixar a ideia.
- O sólido é um tetraedro cujas interseções com os eixos estão em
. Para um tetraedro formado pelos planos coordenados e o plano que intercepta os eixos em , o volume é - Aqui
, logo que coincide com o resultado da integral. Isso é útil para lembrar rápido em prova.