Faça o esboço e calcule o volume da placa triangular localizada no primeiro octante, limitada pela equação x+y+z=2.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: fazer o esboço (um desenho mental / descrição do sólido) e calcular o volume da região no primeiro octante limitada pela equação x+y+z=2.
Informações dadas:
  • A superfície limitante é o plano \,x+y+z=2\,.
  • A região está no primeiro octante, ou seja, temos \,x\ge 0,\;y\ge 0,\;z\ge 0\,.
O que precisamos obter:
  • Identificar geometricamente a região (para o esboço).
  • Calcular o volume dessa região (usar integração ou fórmula geométrica).

Passo 2

Esboço geométrico e pontos notáveis (como fazer o desenho rapidamente na prova).
  • Para achar onde o plano intercepta os eixos, ponha duas coordenadas iguais a zero e resolva para a terceira: \text{Se }y=0,\\ z=0\Rightarrow x=2\quad\text{logo o ponto }(2,0,0).
\text{Se }x=0,\\ z=0\Rightarrow y=2\quad\text{logo o ponto }(0,2,0).
\text{Se }x=0,\\ y=0\Rightarrow z=2\quad\text{logo o ponto }(0,0,2).
  • Esses três pontos são os vértices de um triângulo no plano \,x+y+z=2\,. Juntando esse triângulo aos três planos coordenados \,x=0,\;y=0,\;z=0\, forma-se um tetraedro (um “pirâmide” de base triangular) com vértices em (0,0,0), (2,0,0), (0,2,0), (0,0,2).
  • Como esboçar rápido: desenhe eixos x,y,z orientados, marque os pontos (2,0,0),(0,2,0),(0,0,2) nas respectivas escalas e una-os formando um triângulo inclinado; a origem e esse triângulo fecham o tetraedro.

Passo 3

Estratégia para calcular o volume (ideia básica).
  • Volume de uma região sólida pode ser obtido por uma integral tripla do elemento de volume \,dV\,.
  • Aqui é conveniente integrar na ordem dz\,dy\,dx: para cada par (x,y) no triângulo de projeção no plano xy, z varia de 0 até o valor dado pelo plano, que é z=2-x-y.
  • Precisamos então determinar os limites para x e y que descrevem a projeção da região no plano xy.

Passo 4

Determinar os limites de integração explicitamente.
  • A projeção do tetraedro no plano xy é o triângulo onde x\ge 0,\\ y\ge 0 e x+y\le 2. Assim, para uma ordem de integração prática: 0\le x\le 2,\qquad 0\le y\le 2-x,\qquad 0\le z\le 2-x-y.
  • Explicando: para um x fixo entre 0 e 2, y só pode ir de 0 até a reta y=2-x; para cada par (x,y) naqueles limites, z vai do plano z=0 até z=2-x-y.

Passo 5

Montar a integral de volume.
  • O volume V é V=\int_{x=0}^{2}\int_{y=0}^{2-x}\int_{z=0}^{2-x-y} dz\,dy\,dx.
  • Aqui cada variável significa:
    • x,y,z são coordenadas no espaço;
    • dz\,dy\,dx é o elemento de volume (um paralelepípedo infinitesimal);
    • os limites vêm da geometria explicada no passo anterior.

Passo 6

Calcular a integral passo a passo (fazer as contas como na prova, sem pular etapas).
  • Primeiro integrar em z: \int_{z=0}^{2-x-y} dz = \bigl[z\bigr]_{0}^{2-x-y}=2-x-y.Então V=\int_{x=0}^{2}\int_{y=0}^{2-x} (2-x-y)\,dy\,dx.
  • Agora integrar em y. Para integranda 2-x-y em relação a y: \int_{y=0}^{2-x} (2-x-y)\,dy =\bigl[(2-x)y-\tfrac{1}{2}y^{2}\bigr]_{0}^{2-x}.Avaliando em y=2-x: (2-x)(2-x)-\tfrac{1}{2}(2-x)^{2}=(2-x)^{2}-\tfrac{1}{2}(2-x)^{2}=\tfrac{1}{2}(2-x)^{2}.Assim V=\int_{x=0}^{2} \tfrac{1}{2}(2-x)^{2}\,dx.

Passo 7

Finalizar a integração em x e obter o resultado numérico.
  • Expanda e integre: V=\tfrac{1}{2}\int_{0}^{2} (2-x)^{2}\,dx =\tfrac{1}{2}\int_{0}^{2} (4-4x+x^{2})\,dx.Calcule a primitiva: \tfrac{1}{2}\bigl[4x-2x^{2}+\tfrac{1}{3}x^{3}\bigr]_{0}^{2}.Avaliando em x=2: \tfrac{1}{2}\left(4\cdot 2-2\cdot 2^{2}+\tfrac{1}{3}2^{3}\right) =\tfrac{1}{2}\left(8-8+\tfrac{8}{3}\right) =\tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{8}{3} =\tfrac{4}{3}.

Passo 8

Observação alternativa (fórmula geométrica simples) — para fixar a ideia.
  • O sólido é um tetraedro cujas interseções com os eixos estão em (2,0,0),(0,2,0),(0,0,2). Para um tetraedro formado pelos planos coordenados e o plano que intercepta os eixos em a,b,c, o volume é V=\tfrac{1}{6}abc.
  • Aqui a=b=c=2, logo V=\tfrac{1}{6}\cdot 2\cdot 2\cdot 2=\tfrac{8}{6}=\tfrac{4}{3},que coincide com o resultado da integral. Isso é útil para lembrar rápido em prova.

Resposta

\dfrac{4}{3}

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