Calcule a integral tripla \int_{1}^{2} \int_{0}^{x-1} \int_{0}^{y} 3 x d z d y d x.

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais informações temos.
O enunciado pede o valor da integral tripla
\int_{1}^{2}\int_{0}^{x-1}\int_{0}^{y} 3x \,dz\,dy\,dx.
Informações dadas:
  • A variável de integração interna é z, com limite 0 a y.
  • A segunda variável é y, com limite 0 a x-1.
  • A variável externa é x, com limite 1 a 2.
  • O integrando é 3x, que depende apenas de x (é constante em relação a z e y quando estas variáveis são integradas).
O objetivo é calcular o valor numérico dessa integral iterada.

Passo 2

Primeira integração (em relação a z).
Quando integramos em relação a z mantendo x e y fixos, 3x é tratado como constante (porque não depende de z). Assim,
\int_{0}^{y} 3x \,dz = 3x \int_{0}^{y} 1 \,dz = 3x\,[z]_{0}^{y} = 3x\cdot(y-0) = 3xy.
Explicação breve: integrar uma constante C em z sobre [0,y] C\cdot y. Aqui C=3x.
Portanto a integral tripla reduz-se para uma integral dupla:
\int_{1}^{2}\int_{0}^{x-1} 3xy \,dy\,dx.

Passo 3

Segunda integração (em relação a y).
Agora integramos \;3xy\; em relação a y, com x tratado como constante:
\int_{0}^{x-1} 3xy \,dy = 3x \int_{0}^{x-1} y \,dy.
Conhecimento usado: \displaystyle \int y\,dy = \frac{1}{2}y^{2}. Aplicando nos limites:
3x \int_{0}^{x-1} y \,dy = 3x\left[\frac{1}{2}y^{2}\right]_{0}^{x-1} = 3x\cdot\frac{1}{2}(x-1)^{2} = \frac{3}{2}\,x\,(x-1)^{2}.
Assim a integral reduz-se a uma integral simples em x:
\int_{1}^{2} \frac{3}{2}\,x\,(x-1)^{2}\,dx.

Passo 4

Cálculo da integral em x. Vou fazer uma substituição conveniente para simplificar a conta: seja \;u = x-1\;. Então
x = u+1,\qquad dx = du,
e os limites mudam: quando x=1 temos u=0; quando x=2 temos u=1. Substituindo,
\int_{1}^{2} \frac{3}{2}\,x\,(x-1)^{2}\,dx = \frac{3}{2}\int_{0}^{1} (u+1)\,u^{2}\,du = \frac{3}{2}\int_{0}^{1} (u^{3}+u^{2})\,du.

Passo 5

Integração dos polinômios e cálculo numérico.
Integramos termo a termo:
\int_{0}^{1} u^{3}\,du = \left[\frac{1}{4}u^{4}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{4}, \qquad \int_{0}^{1} u^{2}\,du = \left[\frac{1}{3}u^{3}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3}.
Somando:
\int_{0}^{1} (u^{3}+u^{2})\,du = \frac{1}{4}+\frac{1}{3} = \frac{3+4}{12} = \frac{7}{12}.
Multiplicando pelo fator externo:
\frac{3}{2}\cdot\frac{7}{12} = \frac{21}{24} = \frac{7}{8}.
Portanto o valor da integral é \dfrac{7}{8}.

Resposta

\dfrac{7}{8}

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