Calcule a integral tripla
.
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais informações temos.
O enunciado pede o valor da integral tripla
Informações dadas:
- A variável de integração interna é
, com limite a . - A segunda variável é
, com limite a . - A variável externa é
, com limite a . - O integrando é
, que depende apenas de (é constante em relação a e quando estas variáveis são integradas).
O objetivo é calcular o valor numérico dessa integral iterada.
Passo 2
Primeira integração (em relação a
).
Quando integramos em relação a
mantendo
e
fixos,
é tratado como constante (porque não depende de
). Assim,
Explicação breve: integrar uma constante
em
sobre
dá
. Aqui
.
Portanto a integral tripla reduz-se para uma integral dupla:
Passo 3
Segunda integração (em relação a
).
Agora integramos
em relação a
, com
tratado como constante:
Conhecimento usado:
. Aplicando nos limites:
Assim a integral reduz-se a uma integral simples em
:
Passo 4
Cálculo da integral em
. Vou fazer uma substituição conveniente para simplificar a conta: seja
. Então
e os limites mudam: quando
temos
; quando
temos
. Substituindo,
Passo 5
Integração dos polinômios e cálculo numérico.
Integramos termo a termo:
Somando:
Multiplicando pelo fator externo:
Portanto o valor da integral é
.