Calcule.
\int \tan x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida \displaystyle \int \tan x \, dx.
O conteúdo aqui é integração de funções trigonométricas e vamos usar a técnica de substituição.

Passo 2

Reescrevemos \tan x em termos de seno e cosseno, pois isso facilita a substituição:
\int \tan x \, dx \;=\;\int \frac{\sin x}{\cos x}\,dx.

Passo 3

Fazemos a substituição
u = \cos x, \quad du = -\sin x\,dx \;\Longrightarrow\; \sin x\,dx = -du.
Isso transforma a integral em
\int \frac{\sin x}{\cos x}\,dx =\int \frac{-du}{u} =-\int \frac{1}{u}\,du.

Passo 4

Sabemos que
\int \frac{1}{u}\,du = \ln\bigl\lvert u\bigr\rvert + C.
Portanto,
-\int \frac{1}{u}\,du =-\ln\bigl\lvert u\bigr\rvert + C.

Passo 5

Voltando à variável x com u=\cos x, obtemos
-\ln\bigl\lvert \cos x\bigr\rvert + C.

Resposta

-\ln\bigl\lvert \cos x\bigr\rvert + C

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