Calcule.
\int(5 x+1)^{6} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int (5x+1)^{6}\,dx.
O conteúdo principal aqui é a técnica de substituição para integrar uma função potência de uma expressão linear.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 5x + 1,
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du = 5\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{5}.

Passo 3

Substituindo na integral, temos
\int (5x+1)^{6}\,dx = \int u^{6}\,\frac{du}{5} = \frac{1}{5}\int u^{6}\,du.
Agora aplicamos a regra da potência:
\int u^{6}\,du = \frac{u^{7}}{7} + C.

Passo 4

Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{5} e voltando à variável x, obtemos
\frac{1}{5}\cdot\frac{u^{7}}{7} + C = \frac{1}{35}\,u^{7} + C = \frac{1}{35}\,(5x+1)^{7} + C.

Resposta

\int (5x+1)^{6}\,dx = \frac{1}{35}\,(5x+1)^{7} + C.

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